Номер 167, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 167, страница 40.

Условие.

167. Упростите выражение:

1) $\frac{25 - 5a + 5b - ab}{25 + 5a - 5b - ab} \cdot \frac{ab - 5a - 5b + 25}{ab + 5a + 5b + 25}$

2) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - ab - 4a + 4b} : \frac{a^2 - ab + 4a - 4b}{a^2 - 16}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения данного выражения необходимо разложить на множители числители и знаменатели каждой дроби, а затем выполнить умножение и сократить общие множители.

Разложим на множители числитель первой дроби методом группировки:

$25 - 5a + 5b - ab = (25 - 5a) + (5b - ab) = 5(5 - a) + b(5 - a) = (5 - a)(5 + b)$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби:

$25 + 5a - 5b - ab = (25 + 5a) - (5b + ab) = 5(5 + a) - b(5 + a) = (5 + a)(5 - b)$.

Разложим на множители числитель второй дроби:

$ab - 5a - 5b + 25 = (ab - 5a) - (5b - 25) = a(b - 5) - 5(b - 5) = (a - 5)(b - 5)$.

Разложим на множители знаменатель второй дроби:

$ab + 5a + 5b + 25 = (ab + 5a) + (5b + 25) = a(b + 5) + 5(b + 5) = (a + 5)(b + 5)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{(5 - a)(5 + b)}{(5 + a)(5 - b)} \cdot \frac{(a - 5)(b - 5)}{(a + 5)(b + 5)}$

Заметим, что $(a - 5) = -(5 - a)$ и $(b - 5) = -(5 - b)$. Тогда их произведение $(a - 5)(b - 5) = (-(5 - a)) \cdot (-(5 - b)) = (5 - a)(5 - b)$. Также $(a + 5) = (5 + a)$ и $(b + 5) = (5 + b)$.

Перепишем выражение с учетом этого:

$\frac{(5 - a)(5 + b)}{(5 + a)(5 - b)} \cdot \frac{(5 - a)(5 - b)}{(5 + a)(5 + b)} = \frac{(5 - a)(5 + b)(5 - a)(5 - b)}{(5 + a)(5 - b)(5 + a)(5 + b)}$

Сокращаем общие множители $(5 + b)$ и $(5 - b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(5 - a)(5 - a)}{(5 + a)(5 + a)} = \frac{(5 - a)^2}{(5 + a)^2} = \left(\frac{5 - a}{5 + a}\right)^2$.

Ответ: $\left(\frac{5 - a}{5 + a}\right)^2$.

2) Для упрощения данного выражения заменим операцию деления на умножение, перевернув вторую дробь (делитель), а затем разложим все числители и знаменатели на множители и сократим.

$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - ab - 4a + 4b} : \frac{a^2 - ab + 4a - 4b}{a^2 - 16} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - ab - 4a + 4b} \cdot \frac{a^2 - 16}{a^2 - ab + 4a - 4b}$

Разложим на множители выражения в числителях и знаменателях.

Числитель первой дроби — это формула квадрата разности:

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Знаменатель первой дроби разложим методом группировки:

$a^2 - ab - 4a + 4b = (a^2 - ab) - (4a - 4b) = a(a - b) - 4(a - b) = (a - b)(a - 4)$.

Числитель второй дроби (бывший знаменатель) — это формула разности квадратов:

$a^2 - 16 = a^2 - 4^2 = (a - 4)(a + 4)$.

Знаменатель второй дроби (бывший числитель) разложим методом группировки:

$a^2 - ab + 4a - 4b = (a^2 - ab) + (4a - 4b) = a(a - b) + 4(a - b) = (a - b)(a + 4)$.

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(a - b)^2}{(a - b)(a - 4)} \cdot \frac{(a - 4)(a + 4)}{(a - b)(a + 4)}$

Объединим дроби и запишем $(a-b)^2$ как $(a-b)(a-b)$ для наглядности сокращения:

$\frac{(a - b)(a - b)(a - 4)(a + 4)}{(a - b)(a - 4)(a - b)(a + 4)}$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(a - b)$, еще один $(a - b)$, $(a - 4)$ и $(a + 4)$. В результате все множители сокращаются.

$\frac{\cancel{(a - b)}\cancel{(a - b)}\cancel{(a - 4)}\cancel{(a + 4)}}{\cancel{(a - b)}\cancel{(a - 4)}\cancel{(a - b)}\cancel{(a + 4)}} = 1$.

Ответ: $1$.