Номер 162, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 162, страница 40.

Условие.

162. Известно, что $x - \frac{1}{x} = 9$. Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, имея значение выражения $x - \frac{1}{x}$, необходимо возвести в квадрат обе части исходного равенства.

Исходное равенство: $x - \frac{1}{x} = 9$

Возводим обе части в квадрат: $(x - \frac{1}{x})^2 = 9^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$: $x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 81$

Упростим средний член в левой части уравнения: $x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 81$

Теперь выразим искомую сумму $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенеся $-2$ из левой части в правую с противоположным знаком: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 81 + 2$

Выполним сложение в правой части: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 83$

Ответ: 83