Номер 156, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 156, страница 39.

Условие.

156. Упростите выражение:

1) $\frac{3a^4b^3}{10c^5} \cdot \frac{4b^4c^2}{27a^7} : \frac{5b^7}{9a^3c^3};$

2) $\frac{3a^2}{2b^2c^2} : \frac{7c^8}{6b^3} : \frac{9ab}{14c^{12}};$

3) $(\frac{5a^3}{b^4})^4 \cdot \frac{b^{18}}{50a^{16}};$

4) $(\frac{3x^7}{y^{10}})^4 : (\frac{3x^6}{y^8})^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для упрощения выражения $\frac{3a^4b^3}{10c^5} \cdot \frac{4b^4c^2}{27a^7} : \frac{5b^7}{9a^3c^3}$ сначала заменим деление на дробь умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{3a^4b^3}{10c^5} \cdot \frac{4b^4c^2}{27a^7} \cdot \frac{9a^3c^3}{5b^7}$

Теперь объединим все числители и все знаменатели в одну дробь:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 9 \cdot a^4 \cdot a^3 \cdot b^3 \cdot b^4 \cdot c^2 \cdot c^3}{10 \cdot 27 \cdot 5 \cdot a^7 \cdot b^7 \cdot c^5}$

Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные, используя свойства степеней ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

Коэффициенты: $\frac{3 \cdot 4 \cdot 9}{10 \cdot 27 \cdot 5}$. Сократим эту дробь:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 9}{10 \cdot 27 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 9}{(2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9) \cdot 5} = \frac{4}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}$

Переменная $a$: $\frac{a^4 \cdot a^3}{a^7} = \frac{a^{4+3}}{a^7} = \frac{a^7}{a^7} = a^{7-7} = a^0 = 1$

Переменная $b$: $\frac{b^3 \cdot b^4}{b^7} = \frac{b^{3+4}}{b^7} = \frac{b^7}{b^7} = b^{7-7} = b^0 = 1$

Переменная $c$: $\frac{c^2 \cdot c^3}{c^5} = \frac{c^{2+3}}{c^5} = \frac{c^5}{c^5} = c^{5-5} = c^0 = 1$

Перемножим полученные результаты:

$\frac{2}{25} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2}{25}$

Ответ: $\frac{2}{25}$

2)

В выражении $\frac{3a^2}{2b^2c^2} : \frac{7c^8}{6b^3} : \frac{9ab}{14c^{12}}$ выполняем деление последовательно слева направо, заменяя его умножением на обратные дроби:

$\frac{3a^2}{2b^2c^2} \cdot \frac{6b^3}{7c^8} \cdot \frac{14c^{12}}{9ab}$

Объединим числители и знаменатели:

$\frac{3 \cdot 6 \cdot 14 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot c^{12}}{2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot a \cdot b^2 \cdot b \cdot c^2 \cdot c^8}$

Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные:

Коэффициенты: $\frac{3 \cdot 6 \cdot 14}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{252}{126} = 2$

Переменная $a$: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$

Переменная $b$: $\frac{b^3}{b^2 \cdot b} = \frac{b^3}{b^{2+1}} = \frac{b^3}{b^3} = b^{3-3} = b^0 = 1$

Переменная $c$: $\frac{c^{12}}{c^2 \cdot c^8} = \frac{c^{12}}{c^{2+8}} = \frac{c^{12}}{c^{10}} = c^{12-10} = c^2$

Собираем все вместе:

$2 \cdot a \cdot 1 \cdot c^2 = 2ac^2$

Ответ: $2ac^2$

3)

Упростим выражение $(\frac{5a^3}{b^4})^4 \cdot \frac{b^{18}}{50a^{16}}$. Сначала возведем первую дробь в степень, используя правило $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(\frac{5a^3}{b^4})^4 = \frac{5^4 \cdot (a^3)^4}{(b^4)^4} = \frac{625a^{12}}{b^{16}}$

Теперь подставим это в исходное выражение и выполним умножение:

$\frac{625a^{12}}{b^{16}} \cdot \frac{b^{18}}{50a^{16}} = \frac{625 \cdot a^{12} \cdot b^{18}}{50 \cdot a^{16} \cdot b^{16}}$

Упростим полученную дробь:

Коэффициенты: $\frac{625}{50} = \frac{25 \cdot 25}{2 \cdot 25} = \frac{25}{2}$

Переменная $a$: $\frac{a^{12}}{a^{16}} = a^{12-16} = a^{-4} = \frac{1}{a^4}$

Переменная $b$: $\frac{b^{18}}{b^{16}} = b^{18-16} = b^2$

Объединим результаты:

$\frac{25}{2} \cdot \frac{1}{a^4} \cdot b^2 = \frac{25b^2}{2a^4}$

Ответ: $\frac{25b^2}{2a^4}$

4)

Рассмотрим выражение $(\frac{3x^7}{y^{10}})^4 : (\frac{3x^6}{y^8})^3$. Сначала возведем в степень каждую из дробей:

$(\frac{3x^7}{y^{10}})^4 = \frac{3^4(x^7)^4}{(y^{10})^4} = \frac{81x^{28}}{y^{40}}$

$(\frac{3x^6}{y^8})^3 = \frac{3^3(x^6)^3}{(y^8)^3} = \frac{27x^{18}}{y^{24}}$

Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{81x^{28}}{y^{40}} : \frac{27x^{18}}{y^{24}} = \frac{81x^{28}}{y^{40}} \cdot \frac{y^{24}}{27x^{18}} = \frac{81 \cdot x^{28} \cdot y^{24}}{27 \cdot x^{18} \cdot y^{40}}$

Упростим полученное выражение:

Коэффициенты: $\frac{81}{27} = 3$

Переменная $x$: $\frac{x^{28}}{x^{18}} = x^{28-18} = x^{10}$

Переменная $y$: $\frac{y^{24}}{y^{40}} = y^{24-40} = y^{-16} = \frac{1}{y^{16}}$

Соединим все части:

$3 \cdot x^{10} \cdot \frac{1}{y^{16}} = \frac{3x^{10}}{y^{16}}$

Ответ: $\frac{3x^{10}}{y^{16}}$