Номер 150, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 150, страница 38.

Условие.

150. Найдите частное:

1) $\frac{7}{a^2} : \frac{28}{a^8}$;

2) $\frac{b^9}{8} : \frac{b^3}{48}$;

3) $\frac{27}{m^6} : \frac{36}{m^7 n^2}$;

4) $\frac{6x^{10}}{y^8} : (30x^5y^2)$;

5) $49m^4 : \frac{21m}{n^2}$;

6) $\frac{16x^3y^8}{33z^5} : (-\frac{10x^2}{55z^6})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти частное двух дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$\frac{7}{a^2} : \frac{28}{a^8} = \frac{7}{a^2} \cdot \frac{a^8}{28}$
Теперь перемножим числители и знаменатели и выполним сокращение. Сократим числовые коэффициенты 7 и 28 на 7. Сократим степени переменной $a$, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{7 \cdot a^8}{28 \cdot a^2} = \frac{1 \cdot a^{8-2}}{4} = \frac{a^6}{4}$.
Ответ: $\frac{a^6}{4}$

2) Применяем правило деления дробей: первую дробь умножаем на перевернутую вторую.
$\frac{b^9}{8} : \frac{b^3}{48} = \frac{b^9}{8} \cdot \frac{48}{b^3}$
Выполним сокращение: числовые коэффициенты 48 и 8 сокращаются на 8. Степени переменной $b$ сокращаются по правилу деления степеней с одинаковым основанием.
$\frac{48 \cdot b^9}{8 \cdot b^3} = 6 \cdot b^{9-3} = 6b^6$.
Ответ: $6b^6$

3) Заменяем деление дробей на умножение на обратную (перевернутую) дробь.
$\frac{27}{m^6} : \frac{36}{m^7n^2} = \frac{27}{m^6} \cdot \frac{m^7n^2}{36}$
Сократим числовые коэффициенты 27 и 36 на их наибольший общий делитель, который равен 9. Сократим степени переменной $m$.
$\frac{27 \cdot m^7n^2}{36 \cdot m^6} = \frac{3 \cdot m^{7-6} \cdot n^2}{4} = \frac{3mn^2}{4}$.
Ответ: $\frac{3mn^2}{4}$

4) Делитель $30x^5y^2$ можно представить в виде дроби $\frac{30x^5y^2}{1}$. Тогда деление будет выглядеть так:
$\frac{6x^{10}}{y^8} : (30x^5y^2) = \frac{6x^{10}}{y^8} : \frac{30x^5y^2}{1} = \frac{6x^{10}}{y^8} \cdot \frac{1}{30x^5y^2}$
Теперь умножим дроби и сократим. Коэффициенты 6 и 30 сокращаются на 6. Переменные $x$ и $y$ упрощаются по правилам действий со степенями ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$\frac{6x^{10}}{30x^5y^8y^2} = \frac{1 \cdot x^{10-5}}{5 \cdot y^{8+2}} = \frac{x^5}{5y^{10}}$.
Ответ: $\frac{x^5}{5y^{10}}$

5) Делимое $49m^4$ представим в виде дроби $\frac{49m^4}{1}$ и применим правило деления дробей.
$49m^4 : \frac{21m}{n^2} = \frac{49m^4}{1} \cdot \frac{n^2}{21m}$
Выполним умножение и сокращение. Коэффициенты 49 и 21 сокращаются на 7. Степени переменной $m$ сокращаются.
$\frac{49m^4n^2}{21m} = \frac{7m^{4-1}n^2}{3} = \frac{7m^3n^2}{3}$.
Ответ: $\frac{7m^3n^2}{3}$

6) При делении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным. Заменяем деление на умножение на обратную дробь, вынося знак минус за скобки.
$\frac{16x^3y^8}{33z^5} : \left(-\frac{10x^2}{55z^6}\right) = - \left(\frac{16x^3y^8}{33z^5} \cdot \frac{55z^6}{10x^2}\right)$
Перегруппируем множители и проведем сокращение.
Коэффициенты: $\frac{16 \cdot 55}{33 \cdot 10} = \frac{(2 \cdot 8) \cdot (5 \cdot 11)}{(3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{8}{3}$.
Переменные: $\frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x$ и $\frac{z^6}{z^5} = z^{6-5} = z$.
Собираем все вместе:
$- \frac{16 \cdot 55 \cdot x^3y^8z^6}{33 \cdot 10 \cdot z^5x^2} = - \frac{8 \cdot x \cdot y^8 \cdot z}{3} = -\frac{8xy^8z}{3}$.
Ответ: $-\frac{8xy^8z}{3}$