Номер 145, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 145, страница 37.

Условие.

145. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2}{b^6} \cdot \frac{b^2}{a^2};$

2) $\frac{4m^2}{k^5} \cdot \frac{mk^5}{12};$

3) $\frac{a}{2b} \cdot 2a;$

4) $15x^{12} \cdot \frac{y^2}{5x^4};$

5) $\frac{11x^3}{y^8} \cdot \frac{y^5}{33x^7};$

6) $\frac{7k^8}{9mp} \cdot \frac{27m^3}{56k^6p^2};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{a^2}{b^6} \cdot \frac{b^2}{a^2}$, перемножим числители и знаменатели дробей: $\frac{a^2 \cdot b^2}{b^6 \cdot a^2}$. Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $a^2$: $\frac{b^2}{b^6}$. Используем свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ (или $\frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}}$): $\frac{b^2}{b^6} = \frac{1}{b^{6-2}} = \frac{1}{b^4}$.
Ответ: $\frac{1}{b^4}$

2) Для упрощения выражения $\frac{4m^2}{k^5} \cdot \frac{mk^5}{12}$ перемножим дроби: $\frac{4m^2 \cdot mk^5}{k^5 \cdot 12}$. Сгруппируем коэффициенты и переменные: $\frac{4}{12} \cdot \frac{m^2 \cdot m}{1} \cdot \frac{k^5}{k^5}$. Упростим каждую часть: Сокращаем коэффициенты: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Упрощаем степени с основанием $m$: $m^2 \cdot m = m^{2+1} = m^3$. Упрощаем степени с основанием $k$: $\frac{k^5}{k^5} = k^{5-5} = k^0 = 1$. Результат: $\frac{1}{3} \cdot m^3 \cdot 1 = \frac{m^3}{3}$.
Ответ: $\frac{m^3}{3}$

3) Чтобы упростить выражение $\frac{a}{2b} \cdot 2a$, представим $2a$ как дробь $\frac{2a}{1}$: $\frac{a}{2b} \cdot \frac{2a}{1} = \frac{a \cdot 2a}{2b \cdot 1} = \frac{2a^2}{2b}$. Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе: $\frac{a^2}{b}$.
Ответ: $\frac{a^2}{b}$

4) Для упрощения $15x^{12} \cdot \frac{y^2}{5x^4}$ представим $15x^{12}$ как дробь $\frac{15x^{12}}{1}$: $\frac{15x^{12}}{1} \cdot \frac{y^2}{5x^4} = \frac{15x^{12}y^2}{5x^4}$. Разделим выражение на части: коэффициенты и переменные. $\frac{15}{5} \cdot \frac{x^{12}}{x^4} \cdot y^2$. Упростим каждую часть: $\frac{15}{5} = 3$. $\frac{x^{12}}{x^4} = x^{12-4} = x^8$. Объединяем результаты: $3x^8y^2$.
Ответ: $3x^8y^2$

5) Чтобы упростить $\frac{11x^3}{y^8} \cdot \frac{y^5}{33x^7}$, перемножим дроби: $\frac{11x^3y^5}{y^8 \cdot 33x^7}$. Сгруппируем и упростим: $\frac{11}{33} \cdot \frac{x^3}{x^7} \cdot \frac{y^5}{y^8}$. Упростим каждую группу: $\frac{11}{33} = \frac{1}{3}$. $\frac{x^3}{x^7} = \frac{1}{x^{7-3}} = \frac{1}{x^4}$. $\frac{y^5}{y^8} = \frac{1}{y^{8-5}} = \frac{1}{y^3}$. Объединим результаты: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^4} \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{1}{3x^4y^3}$.
Ответ: $\frac{1}{3x^4y^3}$

6) Упростим выражение $\frac{7k^8}{9mp} \cdot \frac{27m^3}{56k^6p^2}$. Перемножим числители и знаменатели: $\frac{7k^8 \cdot 27m^3}{9mp \cdot 56k^6p^2} = \frac{7 \cdot 27 \cdot k^8 \cdot m^3}{9 \cdot 56 \cdot k^6 \cdot m \cdot p \cdot p^2}$. Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные: $(\frac{7 \cdot 27}{9 \cdot 56}) \cdot (\frac{m^3}{m}) \cdot (\frac{k^8}{k^6}) \cdot (\frac{1}{p \cdot p^2})$. Упрощаем каждую часть: Коэффициенты: $\frac{7 \cdot 27}{9 \cdot 56} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 8} = \frac{3}{8}$. Переменная $m$: $\frac{m^3}{m} = m^{3-1} = m^2$. Переменная $k$: $\frac{k^8}{k^6} = k^{8-6} = k^2$. Переменная $p$: $\frac{1}{p^{1+2}} = \frac{1}{p^3}$. Собираем все вместе: $\frac{3m^2k^2}{8p^3}$.
Ответ: $\frac{3m^2k^2}{8p^3}$