Номер 3, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 3, страница 36.

Условие.

3. Как возвести рациональную дробь в степень?

Решение 2.

Решение 8.

3. Как возвести рациональную дробь в степень?

Чтобы возвести рациональную дробь в степень, необходимо возвести в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель дроби. Результат возведения числителя становится новым числителем, а результат возведения знаменателя — новым знаменателем.

Это правило выражается следующей формулой. Пусть дана рациональная дробь $ \frac{A}{B} $ (где $A$ и $B$ — это числа или алгебраические выражения, и $ B \neq 0 $) и целое число $n$ — показатель степени. Тогда:

$ \left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n} $

Рассмотрим основные случаи.

1. Натуральный показатель степени ($n > 0$)

Числитель и знаменатель возводятся в эту натуральную степень.

Пример: Возвести дробь $ \frac{2}{3} $ в 4-ю степень.

$ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} $

Пример с переменными:

$ \left(\frac{a^2}{5c}\right)^3 = \frac{(a^2)^3}{(5c)^3} = \frac{a^{2 \cdot 3}}{5^3 \cdot c^3} = \frac{a^6}{125c^3} $

2. Отрицательный показатель степени ($n < 0$)

Если показатель степени — отрицательное число (например, $-n$), то дробь сначала «переворачивается» (числитель и знаменатель меняются местами), а показатель степени становится положительным.

$ \left(\frac{A}{B}\right)^{-n} = \left(\frac{B}{A}\right)^n = \frac{B^n}{A^n} $ (при $ A \neq 0, B \neq 0 $)

Пример: Возвести дробь $ \frac{4}{x} $ в степень -2.

$ \left(\frac{4}{x}\right)^{-2} = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{4^2} = \frac{x^2}{16} $

3. Нулевой показатель степени ($n = 0$)

Любое число или дробь (кроме $ \frac{0}{0} $ или дроби с нулевым знаменателем) в нулевой степени равно единице.

$ \left(\frac{A}{B}\right)^0 = 1 $ (при $ A \neq 0, B \neq 0 $)

Пример:

$ \left(\frac{7m^3}{n-1}\right)^0 = 1 $

Ответ: Чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно возвести в эту степень ее числитель и ее знаменатель по отдельности, и первый результат записать в числитель, а второй — в знаменатель новой дроби. Формула этого правила: $ \left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n} $.