Номер 10, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №1 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 1. Рациональные выражения - номер 10, страница 34.

Условие.

10. Упростите выражение $\frac{2m+1}{3m-2} - \frac{3m^2+m-2}{9m^2-12m+4}$

А) $\frac{1}{(3m-2)^2}$

Б) $\frac{1}{3m-2}$

В) $\frac{m}{(3m-2)^2}$

Г) $\frac{m}{3m-2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Чтобы упростить данное выражение, сначала приведем дроби к общему знаменателю. Для этого проанализируем знаменатели. Знаменатель второй дроби, $9m^2 - 12m + 4$, является полным квадратом разности, так как его можно представить в виде $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $9m^2 - 12m + 4 = (3m)^2 - 2 \cdot 3m \cdot 2 + 2^2 = (3m - 2)^2$.

Таким образом, общим знаменателем для двух дробей будет $(3m - 2)^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(3m - 2)$, чтобы привести ее к общему знаменателю: $$ \frac{2m+1}{3m-2} - \frac{3m^2+m-2}{(3m-2)^2} = \frac{(2m+1)(3m-2)}{(3m-2)^2} - \frac{3m^2+m-2}{(3m-2)^2} $$

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, выполним вычитание их числителей: $$ \frac{(2m+1)(3m-2) - (3m^2+m-2)}{(3m-2)^2} $$

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе. Сначала выполним умножение: $(2m+1)(3m-2) = 6m^2 - 4m + 3m - 2 = 6m^2 - m - 2$. Теперь подставим результат в числитель и приведем подобные слагаемые: $$ \frac{(6m^2 - m - 2) - (3m^2+m-2)}{(3m-2)^2} = \frac{6m^2 - m - 2 - 3m^2 - m + 2}{(3m-2)^2} = \frac{3m^2 - 2m}{(3m-2)^2} $$

В полученном числителе $3m^2 - 2m$ вынесем общий множитель $m$ за скобки. Затем сократим дробь на общий множитель $(3m - 2)$: $$ \frac{m(3m - 2)}{(3m - 2)^2} = \frac{m}{3m - 2} $$

Ответ: $\frac{m}{3m - 2}$