Номер 144, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 144, страница 37.

Условие.

144. Выполните умножение:

1) $\frac{3a^2}{c} \cdot \frac{a^2}{c}$;

2) $\frac{2a}{b} \cdot \frac{b}{8a}$;

3) $\frac{x}{yz} \cdot \frac{y^4}{5x}$;

4) $\frac{3m}{16n^2} \cdot 8n^6$;

5) $14m^9 \cdot \frac{n^2}{7m^3}$;

6) $\frac{15a^4}{b^{12}} \cdot \frac{b^6}{10a^2}$;

7) $\frac{48ab}{17c^4} \cdot \frac{51bc^5}{40a^4}$;

8) $\frac{21c^3}{13p^2} \cdot \frac{39p}{28c^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно.
$\frac{3a^2}{c} \cdot \frac{a^2}{c} = \frac{3a^2 \cdot a^2}{c \cdot c}$
Используем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$\frac{3a^{2+2}}{c^{1+1}} = \frac{3a^4}{c^2}$
Ответ: $\frac{3a^4}{c^2}$

2) Перемножаем числители и знаменатели дробей:
$\frac{2a}{b} \cdot \frac{b}{8a} = \frac{2a \cdot b}{b \cdot 8a} = \frac{2ab}{8ab}$
Сокращаем дробь на общие множители $a$, $b$ и $2$:
$\frac{2ab}{8ab} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Перемножаем числители и знаменатели:
$\frac{x}{yz} \cdot \frac{y^4}{5x} = \frac{x \cdot y^4}{yz \cdot 5x} = \frac{xy^4}{5xyz}$
Сокращаем общие множители $x$ и $y$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{y^4}{y} = y^{4-1} = y^3$.
$\frac{y^3}{5z}$
Ответ: $\frac{y^3}{5z}$

4) Представим выражение $8n^6$ в виде дроби $\frac{8n^6}{1}$ и выполним умножение:
$\frac{3m}{16n^2} \cdot 8n^6 = \frac{3m}{16n^2} \cdot \frac{8n^6}{1} = \frac{3m \cdot 8n^6}{16n^2}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
Сокращаем переменные: $\frac{n^6}{n^2} = n^{6-2} = n^4$.
$\frac{3m \cdot n^4}{2} = \frac{3mn^4}{2}$
Ответ: $\frac{3mn^4}{2}$

5) Представим выражение $14m^9$ в виде дроби $\frac{14m^9}{1}$ и выполним умножение:
$14m^9 \cdot \frac{n^2}{7m^3} = \frac{14m^9}{1} \cdot \frac{n^2}{7m^3} = \frac{14m^9 \cdot n^2}{7m^3}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{14}{7} = 2$.
Сокращаем переменные: $\frac{m^9}{m^3} = m^{9-3} = m^6$.
$2 \cdot m^6 \cdot n^2 = 2m^6n^2$
Ответ: $2m^6n^2$

6) Перемножаем числители и знаменатели:
$\frac{15a^4}{b^{12}} \cdot \frac{b^6}{10a^2} = \frac{15a^4 \cdot b^6}{b^{12} \cdot 10a^2}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Сокращаем переменные: $\frac{a^4}{a^2} = a^{4-2} = a^2$ и $\frac{b^6}{b^{12}} = \frac{1}{b^{12-6}} = \frac{1}{b^6}$.
$\frac{3 \cdot a^2}{2 \cdot b^6} = \frac{3a^2}{2b^6}$
Ответ: $\frac{3a^2}{2b^6}$

7) Перемножаем числители и знаменатели дробей, а затем сокращаем:
$\frac{48ab}{17c^4} \cdot \frac{51bc^5}{40a^4} = \frac{48ab \cdot 51bc^5}{17c^4 \cdot 40a^4}$
Группируем коэффициенты и переменные:
$\frac{48 \cdot 51}{17 \cdot 40} \cdot \frac{a \cdot b \cdot b \cdot c^5}{c^4 \cdot a^4}$
Сокращаем коэффициенты: $\frac{48}{40} = \frac{6}{5}$ и $\frac{51}{17} = 3$. Их произведение равно $\frac{6}{5} \cdot 3 = \frac{18}{5}$.
Сокращаем переменные: $\frac{a}{a^4} = \frac{1}{a^3}$, $b \cdot b = b^2$, $\frac{c^5}{c^4} = c$.
Собираем все вместе:
$\frac{18}{5} \cdot \frac{b^2 c}{a^3} = \frac{18b^2c}{5a^3}$
Ответ: $\frac{18b^2c}{5a^3}$

8) Перемножаем числители и знаменатели дробей:
$\frac{21c^3}{13p^2} \cdot \frac{39p}{28c^2} = \frac{21c^3 \cdot 39p}{13p^2 \cdot 28c^2}$
Группируем и сокращаем коэффициенты и переменные:
$\frac{21 \cdot 39}{13 \cdot 28} \cdot \frac{c^3 \cdot p}{p^2 \cdot c^2}$
Сокращаем коэффициенты: $\frac{21}{28} = \frac{3}{4}$ и $\frac{39}{13} = 3$. Их произведение равно $\frac{3}{4} \cdot 3 = \frac{9}{4}$.
Сокращаем переменные: $\frac{c^3}{c^2} = c$ и $\frac{p}{p^2} = \frac{1}{p}$.
Собираем все вместе:
$\frac{9}{4} \cdot \frac{c}{p} = \frac{9c}{4p}$
Ответ: $\frac{9c}{4p}$