Номер 11, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №1 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 1. Рациональные выражения - номер 11, страница 34.

Условие.

11. Упростите выражение $\frac{a-12}{a^2+4a} - \frac{a-4}{a} + \frac{a}{a+4}$.

А) $\frac{4}{a}$

Б) $\frac{1}{a}$

В) $a$

Г) $a+4$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Исходное выражение: $ \frac{a-12}{a^2 + 4a} - \frac{a-4}{a} + \frac{a}{a+4} $.

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби: $ a^2 + 4a = a(a+4) $. Теперь выражение имеет вид: $ \frac{a-12}{a(a+4)} - \frac{a-4}{a} + \frac{a}{a+4} $.

Общим знаменателем для дробей со знаменателями $ a(a+4) $, $ a $ и $ a+4 $ является $ a(a+4) $. Приведем вторую и третью дроби к этому знаменателю, домножив их числители и знаменатели на соответствующие множители.

Для второй дроби дополнительный множитель $ (a+4) $: $ \frac{a-4}{a} = \frac{(a-4)(a+4)}{a(a+4)} = \frac{a^2 - 16}{a(a+4)} $.

Для третьей дроби дополнительный множитель $ a $: $ \frac{a}{a+4} = \frac{a \cdot a}{a(a+4)} = \frac{a^2}{a(a+4)} $.

Теперь выполним действия, объединив все под общим знаменателем: $ \frac{a-12}{a(a+4)} - \frac{a^2 - 16}{a(a+4)} + \frac{a^2}{a(a+4)} = \frac{(a-12) - (a^2 - 16) + a^2}{a(a+4)} $.

Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $ a - 12 - a^2 + 16 + a^2 = (-a^2 + a^2) + a + (-12 + 16) = a + 4 $.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $ \frac{a+4}{a(a+4)} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (a+4) $. Это действие корректно, так как область допустимых значений переменной исключает $ a = -4 $. $ \frac{1}{a} $.

Ответ: $ \frac{1}{a} $.