Номер 2, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 2, страница 36.

Условие.

2. Что является частным двух рациональных дробей?

Решение 2.

Решение 8.

Частным (результатом деления) двух рациональных дробей всегда является рациональная дробь. Чтобы доказать это, обратимся к определению и правилам действий с дробями.

Рациональная дробь — это выражение вида $\frac{P}{Q}$, где числитель $P$ и знаменатель $Q$ являются многочленами, причем $Q$ не является нулевым многочленом.

Возьмем две произвольные рациональные дроби: $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$. Здесь $A, B, C, D$ — многочлены. По определению, знаменатели $B$ и $D$ не равны нулю. Кроме того, делитель (дробь $\frac{C}{D}$) не может быть равен нулю, что означает, что ее числитель $C$ также не является нулевым многочленом ($C \neq 0$).

Правило деления дробей гласит, что для того, чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$$ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} $$

Далее, чтобы перемножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно:

$$ \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} $$

Рассмотрим полученное выражение $\frac{A \cdot D}{B \cdot C}$:

1. Числитель $A \cdot D$ является произведением двух многочленов, что в результате также дает многочлен.
2. Знаменатель $B \cdot C$ является произведением двух многочленов, что также дает многочлен.
3. Поскольку по условию многочлены $B$ и $C$ не равны нулю, их произведение $B \cdot C$ также не будет нулевым многочленом.

Таким образом, результат деления представляет собой отношение двух многочленов с ненулевым знаменателем, что в точности соответствует определению рациональной дроби.

Например, найдем частное дробей $\frac{x-1}{x+5}$ и $\frac{x^2-1}{x+3}$:

$$ \frac{x-1}{x+5} \div \frac{x^2-1}{x+3} = \frac{x-1}{x+5} \cdot \frac{x+3}{x^2-1} $$

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов и выполним сокращение:

$$ \frac{x-1}{x+5} \cdot \frac{x+3}{(x-1)(x+1)} = \frac{\cancel{x-1}}{x+5} \cdot \frac{x+3}{(\cancel{x-1})(x+1)} = \frac{x+3}{(x+5)(x+1)} $$

Результат $\frac{x+3}{x^2+6x+5}$ является рациональной дробью.

Ответ: Частным двух рациональных дробей является рациональная дробь.