Номер 146, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Упражнения - номер 146, страница 37.

Условие.

146. Упростите выражение:

1) $\frac{a - b}{3b} \cdot \frac{3}{a - b}$;

2) $\frac{2mn + n^2}{6m} \cdot \frac{2m}{n}$;

3) $\frac{7a + 7b}{b^6} \cdot \frac{b^3}{a + b}$;

4) $\frac{32a}{a^2 - 9} \cdot \frac{a - 3}{8a}$;

5) $\frac{c - 1}{c + 6} \cdot \frac{c + 6}{c^2 - 2c + 1}$;

6) $\frac{m - 2}{m^2 - 49} \cdot \frac{m + 7}{m - 2}$;

7) $(a + 4) \cdot \frac{a}{2a + 8}$;

8) $\frac{x - 9}{4x + 8} \cdot \frac{x^2 + 2x}{x - 9}$;

9) $\frac{4a^2 - 4a + 1}{3a + 3} \cdot \frac{a + 1}{2a - 1}$;

10) $\frac{a^2 - 25}{4a} \cdot \frac{4a^2}{a^2 - 5a}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение, перемножим числители и знаменатели дробей, а затем сократим общие множители.
$\frac{a-b}{3b} \cdot \frac{3}{a-b} = \frac{(a-b) \cdot 3}{3b \cdot (a-b)}$
Сокращаем общие множители $3$ и $(a-b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne b$ и $b \ne 0$).
$\frac{\cancel{(a-b)} \cdot \cancel{3}}{\cancel{3}b \cdot \cancel{(a-b)}} = \frac{1}{b}$
Ответ: $\frac{1}{b}$

2) Сначала вынесем общий множитель $n$ в числителе первой дроби.
$\frac{2mn + n^2}{6m} \cdot \frac{2m}{n} = \frac{n(2m+n)}{6m} \cdot \frac{2m}{n}$
Теперь перемножим дроби и сократим общие множители.
$\frac{n(2m+n) \cdot 2m}{6m \cdot n} = \frac{\cancel{n}(2m+n) \cdot \cancel{2m}}{\cancel{6}_3\cancel{m} \cdot \cancel{n}} = \frac{2m+n}{3}$
Сокращение возможно при $m \ne 0$ и $n \ne 0$.
Ответ: $\frac{2m+n}{3}$

3) Вынесем общий множитель $7$ в числителе первой дроби.
$\frac{7a + 7b}{b^6} \cdot \frac{b^3}{a+b} = \frac{7(a+b)}{b^6} \cdot \frac{b^3}{a+b}$
Перемножим дроби и сократим.
$\frac{7(a+b) \cdot b^3}{b^6 \cdot (a+b)} = \frac{7\cancel{(a+b)} \cdot \cancel{b^3}}{\cancel{b^6}_{b^3} \cdot \cancel{(a+b)}} = \frac{7}{b^3}$
Сокращение возможно при $b \ne 0$ и $a+b \ne 0$.
Ответ: $\frac{7}{b^3}$

4) Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$\frac{32a}{a^2 - 9} \cdot \frac{a-3}{8a} = \frac{32a}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a-3}{8a}$
Перемножим дроби и сократим общие множители.
$\frac{32a \cdot (a-3)}{(a-3)(a+3) \cdot 8a} = \frac{\cancel{32}_4\cancel{a}\cancel{(a-3)}}{\cancel{(a-3)}(a+3) \cdot \cancel{8}\cancel{a}} = \frac{4}{a+3}$
Сокращение возможно при $a \ne 0$, $a \ne 3$ и $a \ne -3$.
Ответ: $\frac{4}{a+3}$

5) Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$\frac{c-1}{c+6} \cdot \frac{c+6}{c^2 - 2c + 1} = \frac{c-1}{c+6} \cdot \frac{c+6}{(c-1)^2}$
Перемножим дроби и сократим.
$\frac{(c-1) \cdot (c+6)}{(c+6) \cdot (c-1)^2} = \frac{\cancel{(c-1)}\cancel{(c+6)}}{\cancel{(c+6)}\cancel{(c-1)^2}_{(c-1)}} = \frac{1}{c-1}$
Сокращение возможно при $c \ne -6$ и $c \ne 1$.
Ответ: $\frac{1}{c-1}$

6) Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов.
$\frac{m-2}{m^2 - 49} \cdot \frac{m+7}{m-2} = \frac{m-2}{(m-7)(m+7)} \cdot \frac{m+7}{m-2}$
Перемножим дроби и сократим общие множители.
$\frac{(m-2) \cdot (m+7)}{(m-7)(m+7) \cdot (m-2)} = \frac{\cancel{(m-2)}\cancel{(m+7)}}{(m-7)\cancel{(m+7)}\cancel{(m-2)}} = \frac{1}{m-7}$
Сокращение возможно при $m \ne 7$, $m \ne -7$ и $m \ne 2$.
Ответ: $\frac{1}{m-7}$

7) Представим множитель $(a+4)$ в виде дроби $\frac{a+4}{1}$ и вынесем общий множитель в знаменателе второй дроби.
$(a+4) \cdot \frac{a}{2a+8} = \frac{a+4}{1} \cdot \frac{a}{2(a+4)}$
Перемножим и сократим.
$\frac{(a+4) \cdot a}{1 \cdot 2(a+4)} = \frac{\cancel{(a+4)} \cdot a}{2\cancel{(a+4)}} = \frac{a}{2}$
Сокращение возможно при $a \ne -4$.
Ответ: $\frac{a}{2}$

8) Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй.
$\frac{x-9}{4x+8} \cdot \frac{x^2+2x}{x-9} = \frac{x-9}{4(x+2)} \cdot \frac{x(x+2)}{x-9}$
Перемножим дроби и сократим.
$\frac{(x-9) \cdot x(x+2)}{4(x+2) \cdot (x-9)} = \frac{\cancel{(x-9)} \cdot x \cdot \cancel{(x+2)}}{4\cancel{(x+2)}\cancel{(x-9)}} = \frac{x}{4}$
Сокращение возможно при $x \ne 9$ и $x \ne -2$.
Ответ: $\frac{x}{4}$

9) Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.
$4a^2 - 4a + 1 = (2a-1)^2$ (квадрат разности).
$3a+3 = 3(a+1)$.
$\frac{4a^2 - 4a + 1}{3a+3} \cdot \frac{a+1}{2a-1} = \frac{(2a-1)^2}{3(a+1)} \cdot \frac{a+1}{2a-1}$
Перемножим и сократим.
$\frac{(2a-1)^2 \cdot (a+1)}{3(a+1) \cdot (2a-1)} = \frac{\cancel{(2a-1)^2}^{(2a-1)}\cancel{(a+1)}}{3\cancel{(a+1)}\cancel{(2a-1)}} = \frac{2a-1}{3}$
Сокращение возможно при $a \ne -1$ и $a \ne \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{2a-1}{3}$

10) Разложим на множители числитель первой дроби (разность квадратов) и знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя).
$\frac{a^2 - 25}{4a} \cdot \frac{4a^2}{a^2 - 5a} = \frac{(a-5)(a+5)}{4a} \cdot \frac{4a^2}{a(a-5)}$
Перемножим и сократим.
$\frac{(a-5)(a+5) \cdot 4a^2}{4a \cdot a(a-5)} = \frac{\cancel{(a-5)}(a+5) \cdot \cancel{4a^2}}{\cancel{4a^2}\cancel{(a-5)}} = a+5$
Сокращение возможно при $a \ne 0$ и $a \ne 5$.
Ответ: $a+5$