Страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

144. Выполните умножение:

1) $\frac{3a^2}{c} \cdot \frac{a^2}{c}$;

2) $\frac{2a}{b} \cdot \frac{b}{8a}$;

3) $\frac{x}{yz} \cdot \frac{y^4}{5x}$;

4) $\frac{3m}{16n^2} \cdot 8n^6$;

5) $14m^9 \cdot \frac{n^2}{7m^3}$;

6) $\frac{15a^4}{b^{12}} \cdot \frac{b^6}{10a^2}$;

7) $\frac{48ab}{17c^4} \cdot \frac{51bc^5}{40a^4}$;

8) $\frac{21c^3}{13p^2} \cdot \frac{39p}{28c^2}$.

1) Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно.
$\frac{3a^2}{c} \cdot \frac{a^2}{c} = \frac{3a^2 \cdot a^2}{c \cdot c}$
Используем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$\frac{3a^{2+2}}{c^{1+1}} = \frac{3a^4}{c^2}$
Ответ: $\frac{3a^4}{c^2}$

2) Перемножаем числители и знаменатели дробей:
$\frac{2a}{b} \cdot \frac{b}{8a} = \frac{2a \cdot b}{b \cdot 8a} = \frac{2ab}{8ab}$
Сокращаем дробь на общие множители $a$, $b$ и $2$:
$\frac{2ab}{8ab} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Перемножаем числители и знаменатели:
$\frac{x}{yz} \cdot \frac{y^4}{5x} = \frac{x \cdot y^4}{yz \cdot 5x} = \frac{xy^4}{5xyz}$
Сокращаем общие множители $x$ и $y$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{y^4}{y} = y^{4-1} = y^3$.
$\frac{y^3}{5z}$
Ответ: $\frac{y^3}{5z}$

4) Представим выражение $8n^6$ в виде дроби $\frac{8n^6}{1}$ и выполним умножение:
$\frac{3m}{16n^2} \cdot 8n^6 = \frac{3m}{16n^2} \cdot \frac{8n^6}{1} = \frac{3m \cdot 8n^6}{16n^2}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
Сокращаем переменные: $\frac{n^6}{n^2} = n^{6-2} = n^4$.
$\frac{3m \cdot n^4}{2} = \frac{3mn^4}{2}$
Ответ: $\frac{3mn^4}{2}$

5) Представим выражение $14m^9$ в виде дроби $\frac{14m^9}{1}$ и выполним умножение:
$14m^9 \cdot \frac{n^2}{7m^3} = \frac{14m^9}{1} \cdot \frac{n^2}{7m^3} = \frac{14m^9 \cdot n^2}{7m^3}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{14}{7} = 2$.
Сокращаем переменные: $\frac{m^9}{m^3} = m^{9-3} = m^6$.
$2 \cdot m^6 \cdot n^2 = 2m^6n^2$
Ответ: $2m^6n^2$

6) Перемножаем числители и знаменатели:
$\frac{15a^4}{b^{12}} \cdot \frac{b^6}{10a^2} = \frac{15a^4 \cdot b^6}{b^{12} \cdot 10a^2}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Сокращаем переменные: $\frac{a^4}{a^2} = a^{4-2} = a^2$ и $\frac{b^6}{b^{12}} = \frac{1}{b^{12-6}} = \frac{1}{b^6}$.
$\frac{3 \cdot a^2}{2 \cdot b^6} = \frac{3a^2}{2b^6}$
Ответ: $\frac{3a^2}{2b^6}$

7) Перемножаем числители и знаменатели дробей, а затем сокращаем:
$\frac{48ab}{17c^4} \cdot \frac{51bc^5}{40a^4} = \frac{48ab \cdot 51bc^5}{17c^4 \cdot 40a^4}$
Группируем коэффициенты и переменные:
$\frac{48 \cdot 51}{17 \cdot 40} \cdot \frac{a \cdot b \cdot b \cdot c^5}{c^4 \cdot a^4}$
Сокращаем коэффициенты: $\frac{48}{40} = \frac{6}{5}$ и $\frac{51}{17} = 3$. Их произведение равно $\frac{6}{5} \cdot 3 = \frac{18}{5}$.
Сокращаем переменные: $\frac{a}{a^4} = \frac{1}{a^3}$, $b \cdot b = b^2$, $\frac{c^5}{c^4} = c$.
Собираем все вместе:
$\frac{18}{5} \cdot \frac{b^2 c}{a^3} = \frac{18b^2c}{5a^3}$
Ответ: $\frac{18b^2c}{5a^3}$

8) Перемножаем числители и знаменатели дробей:
$\frac{21c^3}{13p^2} \cdot \frac{39p}{28c^2} = \frac{21c^3 \cdot 39p}{13p^2 \cdot 28c^2}$
Группируем и сокращаем коэффициенты и переменные:
$\frac{21 \cdot 39}{13 \cdot 28} \cdot \frac{c^3 \cdot p}{p^2 \cdot c^2}$
Сокращаем коэффициенты: $\frac{21}{28} = \frac{3}{4}$ и $\frac{39}{13} = 3$. Их произведение равно $\frac{3}{4} \cdot 3 = \frac{9}{4}$.
Сокращаем переменные: $\frac{c^3}{c^2} = c$ и $\frac{p}{p^2} = \frac{1}{p}$.
Собираем все вместе:
$\frac{9}{4} \cdot \frac{c}{p} = \frac{9c}{4p}$
Ответ: $\frac{9c}{4p}$

145. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2}{b^6} \cdot \frac{b^2}{a^2};$

2) $\frac{4m^2}{k^5} \cdot \frac{mk^5}{12};$

3) $\frac{a}{2b} \cdot 2a;$

4) $15x^{12} \cdot \frac{y^2}{5x^4};$

5) $\frac{11x^3}{y^8} \cdot \frac{y^5}{33x^7};$

6) $\frac{7k^8}{9mp} \cdot \frac{27m^3}{56k^6p^2};$

1) Чтобы упростить выражение $\frac{a^2}{b^6} \cdot \frac{b^2}{a^2}$, перемножим числители и знаменатели дробей: $\frac{a^2 \cdot b^2}{b^6 \cdot a^2}$. Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $a^2$: $\frac{b^2}{b^6}$. Используем свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ (или $\frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}}$): $\frac{b^2}{b^6} = \frac{1}{b^{6-2}} = \frac{1}{b^4}$.
Ответ: $\frac{1}{b^4}$

2) Для упрощения выражения $\frac{4m^2}{k^5} \cdot \frac{mk^5}{12}$ перемножим дроби: $\frac{4m^2 \cdot mk^5}{k^5 \cdot 12}$. Сгруппируем коэффициенты и переменные: $\frac{4}{12} \cdot \frac{m^2 \cdot m}{1} \cdot \frac{k^5}{k^5}$. Упростим каждую часть: Сокращаем коэффициенты: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Упрощаем степени с основанием $m$: $m^2 \cdot m = m^{2+1} = m^3$. Упрощаем степени с основанием $k$: $\frac{k^5}{k^5} = k^{5-5} = k^0 = 1$. Результат: $\frac{1}{3} \cdot m^3 \cdot 1 = \frac{m^3}{3}$.
Ответ: $\frac{m^3}{3}$

3) Чтобы упростить выражение $\frac{a}{2b} \cdot 2a$, представим $2a$ как дробь $\frac{2a}{1}$: $\frac{a}{2b} \cdot \frac{2a}{1} = \frac{a \cdot 2a}{2b \cdot 1} = \frac{2a^2}{2b}$. Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе: $\frac{a^2}{b}$.
Ответ: $\frac{a^2}{b}$

4) Для упрощения $15x^{12} \cdot \frac{y^2}{5x^4}$ представим $15x^{12}$ как дробь $\frac{15x^{12}}{1}$: $\frac{15x^{12}}{1} \cdot \frac{y^2}{5x^4} = \frac{15x^{12}y^2}{5x^4}$. Разделим выражение на части: коэффициенты и переменные. $\frac{15}{5} \cdot \frac{x^{12}}{x^4} \cdot y^2$. Упростим каждую часть: $\frac{15}{5} = 3$. $\frac{x^{12}}{x^4} = x^{12-4} = x^8$. Объединяем результаты: $3x^8y^2$.
Ответ: $3x^8y^2$

5) Чтобы упростить $\frac{11x^3}{y^8} \cdot \frac{y^5}{33x^7}$, перемножим дроби: $\frac{11x^3y^5}{y^8 \cdot 33x^7}$. Сгруппируем и упростим: $\frac{11}{33} \cdot \frac{x^3}{x^7} \cdot \frac{y^5}{y^8}$. Упростим каждую группу: $\frac{11}{33} = \frac{1}{3}$. $\frac{x^3}{x^7} = \frac{1}{x^{7-3}} = \frac{1}{x^4}$. $\frac{y^5}{y^8} = \frac{1}{y^{8-5}} = \frac{1}{y^3}$. Объединим результаты: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^4} \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{1}{3x^4y^3}$.
Ответ: $\frac{1}{3x^4y^3}$

6) Упростим выражение $\frac{7k^8}{9mp} \cdot \frac{27m^3}{56k^6p^2}$. Перемножим числители и знаменатели: $\frac{7k^8 \cdot 27m^3}{9mp \cdot 56k^6p^2} = \frac{7 \cdot 27 \cdot k^8 \cdot m^3}{9 \cdot 56 \cdot k^6 \cdot m \cdot p \cdot p^2}$. Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные: $(\frac{7 \cdot 27}{9 \cdot 56}) \cdot (\frac{m^3}{m}) \cdot (\frac{k^8}{k^6}) \cdot (\frac{1}{p \cdot p^2})$. Упрощаем каждую часть: Коэффициенты: $\frac{7 \cdot 27}{9 \cdot 56} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 8} = \frac{3}{8}$. Переменная $m$: $\frac{m^3}{m} = m^{3-1} = m^2$. Переменная $k$: $\frac{k^8}{k^6} = k^{8-6} = k^2$. Переменная $p$: $\frac{1}{p^{1+2}} = \frac{1}{p^3}$. Собираем все вместе: $\frac{3m^2k^2}{8p^3}$.
Ответ: $\frac{3m^2k^2}{8p^3}$

146. Упростите выражение:

1) $\frac{a - b}{3b} \cdot \frac{3}{a - b}$;

2) $\frac{2mn + n^2}{6m} \cdot \frac{2m}{n}$;

3) $\frac{7a + 7b}{b^6} \cdot \frac{b^3}{a + b}$;

4) $\frac{32a}{a^2 - 9} \cdot \frac{a - 3}{8a}$;

5) $\frac{c - 1}{c + 6} \cdot \frac{c + 6}{c^2 - 2c + 1}$;

6) $\frac{m - 2}{m^2 - 49} \cdot \frac{m + 7}{m - 2}$;

7) $(a + 4) \cdot \frac{a}{2a + 8}$;

8) $\frac{x - 9}{4x + 8} \cdot \frac{x^2 + 2x}{x - 9}$;

9) $\frac{4a^2 - 4a + 1}{3a + 3} \cdot \frac{a + 1}{2a - 1}$;

10) $\frac{a^2 - 25}{4a} \cdot \frac{4a^2}{a^2 - 5a}$.

1) Чтобы упростить выражение, перемножим числители и знаменатели дробей, а затем сократим общие множители.
$\frac{a-b}{3b} \cdot \frac{3}{a-b} = \frac{(a-b) \cdot 3}{3b \cdot (a-b)}$
Сокращаем общие множители $3$ и $(a-b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne b$ и $b \ne 0$).
$\frac{\cancel{(a-b)} \cdot \cancel{3}}{\cancel{3}b \cdot \cancel{(a-b)}} = \frac{1}{b}$
Ответ: $\frac{1}{b}$

2) Сначала вынесем общий множитель $n$ в числителе первой дроби.
$\frac{2mn + n^2}{6m} \cdot \frac{2m}{n} = \frac{n(2m+n)}{6m} \cdot \frac{2m}{n}$
Теперь перемножим дроби и сократим общие множители.
$\frac{n(2m+n) \cdot 2m}{6m \cdot n} = \frac{\cancel{n}(2m+n) \cdot \cancel{2m}}{\cancel{6}_3\cancel{m} \cdot \cancel{n}} = \frac{2m+n}{3}$
Сокращение возможно при $m \ne 0$ и $n \ne 0$.
Ответ: $\frac{2m+n}{3}$

3) Вынесем общий множитель $7$ в числителе первой дроби.
$\frac{7a + 7b}{b^6} \cdot \frac{b^3}{a+b} = \frac{7(a+b)}{b^6} \cdot \frac{b^3}{a+b}$
Перемножим дроби и сократим.
$\frac{7(a+b) \cdot b^3}{b^6 \cdot (a+b)} = \frac{7\cancel{(a+b)} \cdot \cancel{b^3}}{\cancel{b^6}_{b^3} \cdot \cancel{(a+b)}} = \frac{7}{b^3}$
Сокращение возможно при $b \ne 0$ и $a+b \ne 0$.
Ответ: $\frac{7}{b^3}$

4) Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$\frac{32a}{a^2 - 9} \cdot \frac{a-3}{8a} = \frac{32a}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a-3}{8a}$
Перемножим дроби и сократим общие множители.
$\frac{32a \cdot (a-3)}{(a-3)(a+3) \cdot 8a} = \frac{\cancel{32}_4\cancel{a}\cancel{(a-3)}}{\cancel{(a-3)}(a+3) \cdot \cancel{8}\cancel{a}} = \frac{4}{a+3}$
Сокращение возможно при $a \ne 0$, $a \ne 3$ и $a \ne -3$.
Ответ: $\frac{4}{a+3}$

5) Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$\frac{c-1}{c+6} \cdot \frac{c+6}{c^2 - 2c + 1} = \frac{c-1}{c+6} \cdot \frac{c+6}{(c-1)^2}$
Перемножим дроби и сократим.
$\frac{(c-1) \cdot (c+6)}{(c+6) \cdot (c-1)^2} = \frac{\cancel{(c-1)}\cancel{(c+6)}}{\cancel{(c+6)}\cancel{(c-1)^2}_{(c-1)}} = \frac{1}{c-1}$
Сокращение возможно при $c \ne -6$ и $c \ne 1$.
Ответ: $\frac{1}{c-1}$

6) Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов.
$\frac{m-2}{m^2 - 49} \cdot \frac{m+7}{m-2} = \frac{m-2}{(m-7)(m+7)} \cdot \frac{m+7}{m-2}$
Перемножим дроби и сократим общие множители.
$\frac{(m-2) \cdot (m+7)}{(m-7)(m+7) \cdot (m-2)} = \frac{\cancel{(m-2)}\cancel{(m+7)}}{(m-7)\cancel{(m+7)}\cancel{(m-2)}} = \frac{1}{m-7}$
Сокращение возможно при $m \ne 7$, $m \ne -7$ и $m \ne 2$.
Ответ: $\frac{1}{m-7}$

7) Представим множитель $(a+4)$ в виде дроби $\frac{a+4}{1}$ и вынесем общий множитель в знаменателе второй дроби.
$(a+4) \cdot \frac{a}{2a+8} = \frac{a+4}{1} \cdot \frac{a}{2(a+4)}$
Перемножим и сократим.
$\frac{(a+4) \cdot a}{1 \cdot 2(a+4)} = \frac{\cancel{(a+4)} \cdot a}{2\cancel{(a+4)}} = \frac{a}{2}$
Сокращение возможно при $a \ne -4$.
Ответ: $\frac{a}{2}$

8) Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй.
$\frac{x-9}{4x+8} \cdot \frac{x^2+2x}{x-9} = \frac{x-9}{4(x+2)} \cdot \frac{x(x+2)}{x-9}$
Перемножим дроби и сократим.
$\frac{(x-9) \cdot x(x+2)}{4(x+2) \cdot (x-9)} = \frac{\cancel{(x-9)} \cdot x \cdot \cancel{(x+2)}}{4\cancel{(x+2)}\cancel{(x-9)}} = \frac{x}{4}$
Сокращение возможно при $x \ne 9$ и $x \ne -2$.
Ответ: $\frac{x}{4}$

9) Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.
$4a^2 - 4a + 1 = (2a-1)^2$ (квадрат разности).
$3a+3 = 3(a+1)$.
$\frac{4a^2 - 4a + 1}{3a+3} \cdot \frac{a+1}{2a-1} = \frac{(2a-1)^2}{3(a+1)} \cdot \frac{a+1}{2a-1}$
Перемножим и сократим.
$\frac{(2a-1)^2 \cdot (a+1)}{3(a+1) \cdot (2a-1)} = \frac{\cancel{(2a-1)^2}^{(2a-1)}\cancel{(a+1)}}{3\cancel{(a+1)}\cancel{(2a-1)}} = \frac{2a-1}{3}$
Сокращение возможно при $a \ne -1$ и $a \ne \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{2a-1}{3}$

10) Разложим на множители числитель первой дроби (разность квадратов) и знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя).
$\frac{a^2 - 25}{4a} \cdot \frac{4a^2}{a^2 - 5a} = \frac{(a-5)(a+5)}{4a} \cdot \frac{4a^2}{a(a-5)}$
Перемножим и сократим.
$\frac{(a-5)(a+5) \cdot 4a^2}{4a \cdot a(a-5)} = \frac{\cancel{(a-5)}(a+5) \cdot \cancel{4a^2}}{\cancel{4a^2}\cancel{(a-5)}} = a+5$
Сокращение возможно при $a \ne 0$ и $a \ne 5$.
Ответ: $a+5$

147. Выполните умножение:

1) $\frac{3a + b}{4c} \cdot \frac{c}{3a + b}$;

2) $\frac{ab - b^2}{8} \cdot \frac{4a}{b^4}$;

3) $\frac{5x - 5y}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x - y}$;

4) $\frac{18b}{b^2 - 16} \cdot \frac{b + 4}{3b}$;

5) $\frac{6}{m^2 - 9n^2} \cdot (m - 3n)$;

6) $\frac{3c - 9}{9c^2 + 6c + 1} \cdot \frac{3c + 1}{c - 3}$.

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.
$\frac{3a+b}{4c} \cdot \frac{c}{3a+b} = \frac{(3a+b) \cdot c}{4c \cdot (3a+b)}$
В числителе и знаменателе есть общие множители $(3a+b)$ и $c$. Сократим их:
$\frac{\cancel{(3a+b)} \cdot \cancel{c}}{4\cancel{c} \cdot \cancel{(3a+b)}} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

2) Перемножим числители и знаменатели данных дробей:
$\frac{ab-b^2}{8} \cdot \frac{4a}{b^4} = \frac{(ab-b^2) \cdot 4a}{8 \cdot b^4}$
В числителе вынесем общий множитель $b$ за скобки: $ab-b^2 = b(a-b)$.
$\frac{b(a-b) \cdot 4a}{8b^4}$
Теперь сократим дробь. Числитель и знаменатель делятся на $4$ и на $b$.
$\frac{\cancel{b}(a-b) \cdot \cancel{4}a}{\cancel{8}_2 \cdot \cancel{b^4}_{b^3}} = \frac{a(a-b)}{2b^3}$
Ответ: $\frac{a(a-b)}{2b^3}$

3) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:
$\frac{5x-5y}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x-y} = \frac{(5x-5y) \cdot x^3}{x^6 \cdot (x-y)}$
В числителе вынесем за скобки общий множитель 5: $5x-5y=5(x-y)$.
$\frac{5(x-y) \cdot x^3}{x^6 \cdot (x-y)}$
Сократим дробь на общие множители $(x-y)$ и $x^3$.
$\frac{5\cancel{(x-y)} \cdot \cancel{x^3}}{\cancel{x^6}_{x^3} \cdot \cancel{(x-y)}} = \frac{5}{x^3}$
Ответ: $\frac{5}{x^3}$

4) Умножим дроби:
$\frac{18b}{b^2-16} \cdot \frac{b+4}{3b} = \frac{18b \cdot (b+4)}{(b^2-16) \cdot 3b}$
Разложим знаменатель $b^2-16$ на множители по формуле разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$: $b^2-16 = (b-4)(b+4)$.
$\frac{18b \cdot (b+4)}{(b-4)(b+4) \cdot 3b}$
Сократим дробь на общие множители $3b$ (18b делится на 3b, получается 6) и $(b+4)$.
$\frac{\cancel{18b}^6 \cdot \cancel{(b+4)}}{(b-4)\cancel{(b+4)} \cdot \cancel{3b}} = \frac{6}{b-4}$
Ответ: $\frac{6}{b-4}$

5) Представим выражение $(m-3n)$ в виде дроби со знаменателем 1 и выполним умножение:
$\frac{6}{m^2-9n^2} \cdot (m-3n) = \frac{6}{m^2-9n^2} \cdot \frac{m-3n}{1} = \frac{6 \cdot (m-3n)}{m^2-9n^2}$
Знаменатель $m^2-9n^2$ является разностью квадратов: $m^2-(3n)^2=(m-3n)(m+3n)$.
$\frac{6 \cdot (m-3n)}{(m-3n)(m+3n)}$
Сократим дробь на общий множитель $(m-3n)$.
$\frac{6 \cdot \cancel{(m-3n)}}{\cancel{(m-3n)}(m+3n)} = \frac{6}{m+3n}$
Ответ: $\frac{6}{m+3n}$

6) Выполним умножение дробей:
$\frac{3c-9}{9c^2+6c+1} \cdot \frac{3c+1}{c-3} = \frac{(3c-9) \cdot (3c+1)}{(9c^2+6c+1) \cdot (c-3)}$
Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби. В числителе вынесем 3 за скобки: $3c-9=3(c-3)$. Знаменатель является полным квадратом суммы: $9c^2+6c+1=(3c)^2+2\cdot3c\cdot1+1^2=(3c+1)^2$.
$\frac{3(c-3) \cdot (3c+1)}{(3c+1)^2 \cdot (c-3)}$
Сократим дробь на общие множители $(c-3)$ и $(3c+1)$.
$\frac{3\cancel{(c-3)} \cdot \cancel{(3c+1)}}{\cancel{(3c+1)^2}_{(3c+1)} \cdot \cancel{(c-3)}} = \frac{3}{3c+1}$
Ответ: $\frac{3}{3c+1}$

148. Какому из данных выражений равно частное $\frac{3}{c^3} : \frac{12}{c^9}$?

1) $\frac{c^3}{4}$;

2) $\frac{c^6}{4}$;

3) $4c^3$;

4) $4c^6$.

Чтобы найти частное двух алгебраических дробей, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (делителю). Исходное выражение:

$ \frac{3}{c^3} : \frac{12}{c^9} $

Согласно правилу деления дробей, заменяем операцию деления на умножение, при этом "переворачиваем" вторую дробь:

$ \frac{3}{c^3} \cdot \frac{c^9}{12} $

Теперь выполним умножение дробей. Для этого перемножим их числители и знаменатели:

$ \frac{3 \cdot c^9}{c^3 \cdot 12} $

Далее, упростим полученное выражение. Сократим числовой коэффициент в числителе (3) и знаменателе (12). Оба числа делятся на 3:

$ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $

Теперь сократим степени с основанием $c$, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):

$ \frac{c^9}{c^3} = c^{9-3} = c^6 $

Объединим полученные результаты. В числителе остается $c^6$, а в знаменателе $4$.

$ \frac{c^6}{4} $

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $ \frac{c^6}{4} $.

149. Выполните деление:

1) $\frac{8m}{n} : \frac{4m}{n}$;

2) $\frac{3b}{8} : b$;

3) $\frac{7c^2}{d} : \frac{c}{d^3}$;

4) $\frac{6a}{5b} : \frac{3a^2}{20b^2}$;

5) $-\frac{9a}{b^5} : \frac{18a^4}{b^3}$;

6) $a^2 : \frac{a}{b^2c}$;

7) $24a^3 : \frac{12a^2}{b}$;

8) $\frac{36a}{c^3} : (4a^2c).$

1) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$ \frac{8m}{n} : \frac{4m}{n} = \frac{8m}{n} \cdot \frac{n}{4m} $
Сократим общие множители в числителе и знаменателе. $m$ сокращается с $m$, $n$ сокращается с $n$. Числовой коэффициент $8$ делится на $4$.
$ \frac{8m \cdot n}{n \cdot 4m} = \frac{8}{4} = 2 $
Ответ: $2$.

2) Представим делитель $b$ в виде дроби $ \frac{b}{1} $. Затем применим правило деления дробей.
$ \frac{3b}{8} : b = \frac{3b}{8} : \frac{b}{1} = \frac{3b}{8} \cdot \frac{1}{b} $
Сократим общий множитель $b$ в числителе и знаменателе.
$ \frac{3b \cdot 1}{8 \cdot b} = \frac{3}{8} $
Ответ: $ \frac{3}{8} $.

3) Применим правило деления дробей: умножим первую дробь на обратную ко второй.
$ \frac{7c^2}{d} : \frac{c}{d^3} = \frac{7c^2}{d} \cdot \frac{d^3}{c} = \frac{7c^2 d^3}{dc} $
Сократим степени с одинаковыми основаниями: $ \frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c $ и $ \frac{d^3}{d} = d^{3-1} = d^2 $.
$ 7 \cdot c \cdot d^2 = 7cd^2 $
Ответ: $ 7cd^2 $.

4) Умножим первую дробь на дробь, обратную второй.
$ \frac{6a}{5b} : \frac{3a^2}{20b^2} = \frac{6a}{5b} \cdot \frac{20b^2}{3a^2} = \frac{6a \cdot 20b^2}{5b \cdot 3a^2} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{6}{3} = 2 $, $ \frac{20}{5} = 4 $.
Сократим переменные: $ \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} $, $ \frac{b^2}{b} = b $.
$ \frac{(6 \cdot 20) \cdot a \cdot b^2}{(5 \cdot 3) \cdot b \cdot a^2} = \frac{2 \cdot 4 \cdot b}{a} = \frac{8b}{a} $
Ответ: $ \frac{8b}{a} $.

5) При делении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным. Применим правило деления дробей.
$ -\frac{9a}{b^5} : \frac{18a^4}{b^3} = -\left(\frac{9a}{b^5} \cdot \frac{b^3}{18a^4}\right) = -\frac{9ab^3}{18a^4b^5} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{9}{18} = \frac{1}{2} $.
Сократим переменные: $ \frac{a}{a^4} = \frac{1}{a^3} $, $ \frac{b^3}{b^5} = \frac{1}{b^2} $.
$ -\frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot a^3 \cdot b^2} = -\frac{1}{2a^3b^2} $
Ответ: $ -\frac{1}{2a^3b^2} $.

6) Представим $a^2$ в виде дроби $ \frac{a^2}{1} $ и применим правило деления.
$ a^2 : \frac{a}{b^2c} = \frac{a^2}{1} \cdot \frac{b^2c}{a} = \frac{a^2b^2c}{a} $
Сократим $a^2$ и $a$.
$ a^{2-1}b^2c = ab^2c $
Ответ: $ ab^2c $.

7) Представим $24a^3$ в виде дроби $ \frac{24a^3}{1} $ и применим правило деления.
$ 24a^3 : \frac{12a^2}{b} = \frac{24a^3}{1} \cdot \frac{b}{12a^2} = \frac{24a^3b}{12a^2} $
Сократим числовые коэффициенты $ \frac{24}{12} = 2 $ и переменные $ \frac{a^3}{a^2} = a $.
$ 2ab $
Ответ: $ 2ab $.

8) Представим выражение $ (4a^2c) $ в виде дроби $ \frac{4a^2c}{1} $ и применим правило деления.
$ \frac{36a}{c^3} : (4a^2c) = \frac{36a}{c^3} : \frac{4a^2c}{1} = \frac{36a}{c^3} \cdot \frac{1}{4a^2c} = \frac{36a}{c^3 \cdot 4a^2c} $
Упростим знаменатель: $ c^3 \cdot c = c^4 $.
$ \frac{36a}{4a^2c^4} $
Сократим числовые коэффициенты $ \frac{36}{4} = 9 $ и переменные $ \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} $.
$ \frac{9}{ac^4} $
Ответ: $ \frac{9}{ac^4} $.