Страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

129. Упростите выражение:

$\frac{1}{(a-1)(a-3)} + \frac{1}{(a-3)(a-5)} + \frac{1}{(a-5)(a-7)}$

Для упрощения данного выражения будем выполнять сложение дробей последовательно, группируя их попарно.

1. Сложение первых двух дробей

Сначала сложим первые две дроби: $\frac{1}{(a-1)(a-3)} + \frac{1}{(a-3)(a-5)}$.

Общим знаменателем для них является выражение $(a-1)(a-3)(a-5)$. Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(a-5)$, для второй — $(a-1)$.

$\frac{1 \cdot (a-5)}{(a-1)(a-3)(a-5)} + \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a-3)(a-5)} = \frac{(a-5) + (a-1)}{(a-1)(a-3)(a-5)}$

Упростим числитель полученной дроби:

$\frac{a-5+a-1}{(a-1)(a-3)(a-5)} = \frac{2a-6}{(a-1)(a-3)(a-5)}$

В числителе можно вынести за скобки общий множитель 2:

$\frac{2(a-3)}{(a-1)(a-3)(a-5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-3)$, при условии, что $a \neq 3$:

$\frac{2}{(a-1)(a-5)}$

2. Сложение результата с третьей дробью

Теперь к полученному выражению прибавим третью дробь из исходного примера:

$\frac{2}{(a-1)(a-5)} + \frac{1}{(a-5)(a-7)}$

Общим знаменателем для этих дробей является выражение $(a-1)(a-5)(a-7)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(a-7)$, для второй — $(a-1)$.

$\frac{2 \cdot (a-7)}{(a-1)(a-5)(a-7)} + \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a-5)(a-7)} = \frac{2(a-7) + (a-1)}{(a-1)(a-5)(a-7)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a-14+a-1}{(a-1)(a-5)(a-7)} = \frac{3a-15}{(a-1)(a-5)(a-7)}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель 3:

$\frac{3(a-5)}{(a-1)(a-5)(a-7)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-5)$, при условии, что $a \neq 5$:

$\frac{3}{(a-1)(a-7)}$

Таким образом, исходное выражение упрощается до $\frac{3}{(a-1)(a-7)}$.

Ответ: $\frac{3}{(a-1)(a-7)}$

130. Докажите тождество:

$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^2} + \frac{4}{1+a^4} + \frac{8}{1+a^8} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{32}{1-a^{32}}$

Для доказательства данного тождества мы будем последовательно преобразовывать его левую часть, складывая слагаемые попарно. В основе каждого шага лежит применение формулы разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

1. Начнем со сложения первых двух дробей:

$ \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} = \frac{1 \cdot (1+a) + 1 \cdot (1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{1+a+1-a}{1-a^2} = \frac{2}{1-a^2} $

2. Теперь к полученной дроби прибавим следующее слагаемое из исходного выражения:

$ \frac{2}{1-a^2} + \frac{2}{1+a^2} = \frac{2(1+a^2) + 2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{2+2a^2+2-2a^2}{1-(a^2)^2} = \frac{4}{1-a^4} $

3. Мы видим закономерность. Продолжим процесс, прибавив следующую дробь:

$ \frac{4}{1-a^4} + \frac{4}{1+a^4} = \frac{4(1+a^4) + 4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{4+4a^4+4-4a^4}{1-(a^4)^2} = \frac{8}{1-a^8} $

4. Прибавим следующее слагаемое:

$ \frac{8}{1-a^8} + \frac{8}{1+a^8} = \frac{8(1+a^8) + 8(1-a^8)}{(1-a^8)(1+a^8)} = \frac{8+8a^8+8-8a^8}{1-(a^8)^2} = \frac{16}{1-a^{16}} $

5. Наконец, прибавим последнее слагаемое из левой части равенства:

$ \frac{16}{1-a^{16}} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{16(1+a^{16}) + 16(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})} = \frac{16+16a^{16}+16-16a^{16}}{1-(a^{16})^2} = \frac{32}{1-a^{32}} $

В результате преобразования левой части тождества мы получили его правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть после упрощения равна правой части.

131. Докажите тождество:

$\frac{3}{1-a^2} + \frac{3}{1+a^2} + \frac{6}{1+a^4} + \frac{12}{1+a^8} + \frac{24}{1+a^{16}} = \frac{48}{1-a^{32}}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, последовательно складывая дроби слева направо. При каждом сложении будем использовать формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

1. Сложим первые два слагаемых:

$ \frac{3}{1-a^2} + \frac{3}{1+a^2} = \frac{3(1+a^2) + 3(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{3+3a^2+3-3a^2}{1-(a^2)^2} = \frac{6}{1-a^4} $

2. К полученному результату прибавим третье слагаемое изначального выражения:

$ \frac{6}{1-a^4} + \frac{6}{1+a^4} = \frac{6(1+a^4) + 6(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{6+6a^4+6-6a^4}{1-(a^4)^2} = \frac{12}{1-a^8} $

3. Теперь к результату предыдущего шага прибавим четвертое слагаемое:

$ \frac{12}{1-a^8} + \frac{12}{1+a^8} = \frac{12(1+a^8) + 12(1-a^8)}{(1-a^8)(1+a^8)} = \frac{12+12a^8+12-12a^8}{1-(a^8)^2} = \frac{24}{1-a^{16}} $

4. Наконец, прибавим последнее, пятое слагаемое:

$ \frac{24}{1-a^{16}} + \frac{24}{1+a^{16}} = \frac{24(1+a^{16}) + 24(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})} = \frac{24+24a^{16}+24-24a^{16}}{1-(a^{16})^2} = \frac{48}{1-a^{32}} $

В результате последовательных преобразований левая часть выражения оказалась равна его правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

132. Докажите, что если $\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-a}{a+c} + \frac{c-b}{a+b} = 1$, то $\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} = 4$.

Для доказательства утверждения воспользуемся исходным равенством:

$\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-a}{a+c} + \frac{c-b}{a+b} = 1$

Прибавим к обеим частям этого равенства число 3. Это не нарушит равенства.

$\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-a}{a+c} + \frac{c-b}{a+b} + 3 = 1 + 3$

В левой части равенства представим число 3 как сумму $1+1+1$ и сгруппируем каждое из этих слагаемых с соответствующей дробью:

$\left(\frac{a-c}{b+c} + 1\right) + \left(\frac{b-a}{a+c} + 1\right) + \left(\frac{c-b}{a+b} + 1\right) = 4$

Теперь выполним сложение в каждой из скобок, приводя дроби к общему знаменателю.

Преобразуем выражение в первой скобке:

$\frac{a-c}{b+c} + 1 = \frac{a-c}{b+c} + \frac{b+c}{b+c} = \frac{a-c+b+c}{b+c} = \frac{a+b}{b+c}$

Преобразуем выражение во второй скобке:

$\frac{b-a}{a+c} + 1 = \frac{b-a}{a+c} + \frac{a+c}{a+c} = \frac{b-a+a+c}{a+c} = \frac{b+c}{a+c}$

Преобразуем выражение в третьей скобке:

$\frac{c-b}{a+b} + 1 = \frac{c-b}{a+b} + \frac{a+b}{a+b} = \frac{c-b+a+b}{a+b} = \frac{a+c}{a+b}$

Теперь подставим полученные преобразованные дроби обратно в наше уравнение:

$\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} = 4$

Таким образом, мы доказали, что если выполняется исходное условие, то указанное равенство также является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Оно заключается в прибавлении 3 к обеим частям исходного равенства и последующих алгебраических преобразованиях.

133. Найдите корень уравнения:

1) $ \frac{x}{3} + \frac{x-1}{2} = 4; $

2) $ \frac{x-4}{2} - \frac{x-1}{5} = 3. $

1) Дано уравнение $\frac{x}{3} + \frac{x-1}{2} = 4$.

Для решения этого линейного уравнения с дробями необходимо избавиться от знаменателей. Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 2. Это число 6.

Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x-1}{2} = 6 \cdot 4$

Сократим дроби:

$2 \cdot x + 3 \cdot (x-1) = 24$

Раскроем скобки:

$2x + 3x - 3 = 24$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$5x - 3 = 24$

Перенесем число -3 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$5x = 24 + 3$

$5x = 27$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{27}{5}$

$x = 5,4$

Ответ: $5,4$

2) Дано уравнение $\frac{x-4}{2} - \frac{x-1}{5} = 3$.

Чтобы решить уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2 и 5 равен 10.

Умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot \frac{x-4}{2} - 10 \cdot \frac{x-1}{5} = 10 \cdot 3$

Сократим дроби:

$5 \cdot (x-4) - 2 \cdot (x-1) = 30$

Раскроем скобки. Обратите внимание, что перед второй скобкой стоит знак "минус", поэтому знаки внутри нее изменятся на противоположные:

$5x - 20 - 2x + 2 = 30$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5x - 2x) + (-20 + 2) = 30$

$3x - 18 = 30$

Перенесем число -18 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 30 + 18$

$3x = 48$

Найдем $x$, разделив обе части на 3:

$x = \frac{48}{3}$

$x = 16$

Ответ: $16$

134. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 8, \\ 3x - 2y = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + 5y = 13, \\ 3x - 5y = -13. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 8, \\ 3x - 2y = 9; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$x + y = 8 \implies y = 8 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$3x - 2(8 - x) = 9$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$3x - 16 + 2x = 9$

$5x - 16 = 9$

$5x = 9 + 16$

$5x = 25$

$x = \frac{25}{5}$

$x = 5$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=5$ в выражение $y = 8 - x$:

$y = 8 - 5$

$y = 3$

Проверим найденное решение $(5; 3)$, подставив его в оба исходных уравнения:

$5 + 3 = 8$ (верно)

$3(5) - 2(3) = 15 - 6 = 9$ (верно)

Ответ: $(5; 3)$

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 5y = 13, \\ 3x - 5y = -13. \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($5$ и $-5$). Сложим левые и правые части уравнений системы:

$(2x + 5y) + (3x - 5y) = 13 + (-13)$

Приведем подобные слагаемые:

$2x + 3x + 5y - 5y = 0$

$5x = 0$

$x = 0$

Теперь подставим найденное значение $x=0$ в любое из уравнений системы, например, в первое:

$2(0) + 5y = 13$

$0 + 5y = 13$

$5y = 13$

$y = \frac{13}{5}$

$y = 2.6$

Проверим найденное решение $(0; \frac{13}{5})$, подставив его в оба исходных уравнения:

$2(0) + 5(\frac{13}{5}) = 0 + 13 = 13$ (верно)

$3(0) - 5(\frac{13}{5}) = 0 - 13 = -13$ (верно)

Ответ: $(0; \frac{13}{5})$

135. За первый день трёхдневной гонки велосипедисты проехали $\frac{4}{15}$ всего маршрута, за второй день — $\frac{2}{5}$ всего маршрута, а за третий — оставшиеся 90 км. Какое расстояние проехали велосипедисты за три дня?

Для решения задачи необходимо определить, какую часть всего маршрута составляют 90 км, пройденные в третий день, а затем найти общую длину маршрута.

1. Сначала найдем, какую долю маршрута велосипедисты проехали за первые два дня. Для этого сложим дроби, соответствующие первому и второму дню гонки, приведя их к общему знаменателю 15:

$\frac{4}{15} + \frac{2}{5} = \frac{4}{15} + \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15} + \frac{6}{15} = \frac{10}{15}$

Сократим полученную дробь: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, за первые два дня было пройдено $\frac{2}{3}$ всего маршрута.

2. Теперь вычислим, какая часть маршрута осталась на третий день. Весь маршрут примем за единицу (1).

$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Следовательно, на третий день велосипедисты проехали $\frac{1}{3}$ всего маршрута.

3. Из условия известно, что расстояние, пройденное в третий день, составляет 90 км. Так как это $\frac{1}{3}$ всего маршрута, мы можем найти общую длину маршрута. Если $\frac{1}{3}$ маршрута равна 90 км, то весь маршрут (целое) будет в 3 раза больше:

$90 \div \frac{1}{3} = 90 \cdot 3 = 270$ км.

Ответ: 270 км.

136. (Из болгарского фольклора.) Пятеро братьев хотели разделить 20 овец так, чтобы каждый из них получил нечётное количество овец.
Возможно ли это?

Для решения этой задачи рассмотрим свойства чётных и нечётных чисел. По условию, необходимо разделить 20 овец (чётное число) между пятью братьями так, чтобы каждый из них получил нечётное количество овец.

Пусть количество овец, полученное каждым из пяти братьев, будет $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$. По условию задачи, все эти числа должны быть нечётными. В сумме они должны дать общее количество овец:

$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 = 20$

Теперь проанализируем результат сложения пяти нечётных чисел. Вспомним правила сложения чётных и нечётных чисел:

нечётное + нечётное = чётное
чётное + нечётное = нечётное

Применим эти правила для сложения долей пяти братьев:

$n_1$ (нечёт.) + $n_2$ (нечёт.) = чётное число.
($n_1 + n_2$) (чёт.) + $n_3$ (нечёт.) = нечётное число.
($n_1 + n_2 + n_3$) (нечёт.) + $n_4$ (нечёт.) = чётное число.
($n_1 + n_2 + n_3 + n_4$) (чёт.) + $n_5$ (нечёт.) = нечётное число.

Таким образом, сумма пяти нечётных чисел всегда является нечётным числом. Однако по условию задачи эта сумма должна быть равна 20, что является чётным числом. Мы получили противоречие: нечётное число не может быть равно чётному.

Следовательно, разделить 20 овец между пятью братьями в соответствии с заданным условием невозможно.

Ответ: Нет, это невозможно.

137. Верно ли утверждение, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(5n + 7)^2 - (n - 1)^2$ делится нацело на 48?

Чтобы проверить, верно ли утверждение, необходимо упростить данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 5n + 7$ и $b = n - 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(5n + 7)^2 - (n - 1)^2 = ((5n + 7) - (n - 1))((5n + 7) + (n - 1))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $(5n + 7) - (n - 1) = 5n + 7 - n + 1 = 4n + 8 = 4(n + 2)$

Вторая скобка: $(5n + 7) + (n - 1) = 5n + 7 + n - 1 = 6n + 6 = 6(n + 1)$

Перемножим полученные результаты:

$4(n + 2) \cdot 6(n + 1) = 24(n + 1)(n + 2)$

Теперь нам нужно доказать, что выражение $24(n + 1)(n + 2)$ делится нацело на 48 при любом натуральном $n$.

Для того чтобы $24(n + 1)(n + 2)$ делилось на 48, необходимо, чтобы выражение $\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$ было целым числом.

Рассмотрим произведение $(n + 1)(n + 2)$. Это произведение двух последовательных натуральных чисел. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n+1$ и $n+2$ — это два идущих подряд целых числа.

Среди двух последовательных целых чисел одно всегда является четным.

• Если $n$ — нечетное число, то $n+1$ будет четным.
• Если $n$ — четное число, то $n+2$ будет четным.

В любом случае, произведение $(n + 1)(n + 2)$ содержит четный множитель, а значит, само произведение всегда делится на 2.

Так как $(n + 1)(n + 2)$ всегда делится на 2, то выражение $24(n + 1)(n + 2)$ всегда будет делиться на $24 \cdot 2 = 48$.

Следовательно, исходное утверждение верно.

Ответ: Да, утверждение верно.

138. Укажите число, обратное числу:

1) $\frac{5}{8}$;

2) $7$;

3) $-3\frac{5}{6}$;

4) $\frac{1}{14}$;

5) $0,12$.

Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными. Чтобы найти число, обратное данному (кроме 0), нужно 1 разделить на это число. Для дроби $ \frac{a}{b} $ обратным числом будет дробь $ \frac{b}{a} $. Знак числа при нахождении обратного ему числа сохраняется.

1) Исходное число — это обыкновенная дробь $ \frac{5}{8} $. Чтобы найти обратное число, необходимо поменять местами числитель и знаменатель дроби. Таким образом, число, обратное $ \frac{5}{8} $, это $ \frac{8}{5} $. Эту неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа $ 1\frac{3}{5} $ или десятичной дроби $ 1,6 $.
Ответ: $ \frac{8}{5} $

2) Исходное число — это целое число 7. Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $ 7 = \frac{7}{1} $. Теперь, чтобы найти обратное число, меняем местами числитель и знаменатель. Число, обратное $ \frac{7}{1} $, это $ \frac{1}{7} $.
Ответ: $ \frac{1}{7} $

3) Исходное число — это смешанное отрицательное число $ -3\frac{5}{6} $. Сначала преобразуем его в неправильную дробь. Знак "минус" при этом сохраняется. $ -3\frac{5}{6} = -(\frac{3 \cdot 6 + 5}{6}) = -\frac{18 + 5}{6} = -\frac{23}{6} $. Теперь найдем обратное число для дроби $ -\frac{23}{6} $. Для этого, сохраняя знак, меняем местами числитель и знаменатель. Обратным числом будет $ -\frac{6}{23} $.
Ответ: $ -\frac{6}{23} $

4) Исходное число — это дробь $ \frac{1}{14} $. Чтобы найти обратное число, меняем местами числитель и знаменатель. Получаем дробь $ \frac{14}{1} $, которая равна целому числу 14.
Ответ: 14

5) Исходное число — это десятичная дробь $ 0,12 $. Сначала представим ее в виде обыкновенной дроби. $ 0.12 = \frac{12}{100} $. Прежде чем искать обратное число, сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя и знаменателя равен 4. $ \frac{12}{100} = \frac{12 \div 4}{100 \div 4} = \frac{3}{25} $. Теперь найдем обратное число для дроби $ \frac{3}{25} $, поменяв местами числитель и знаменатель. Обратным числом будет $ \frac{25}{3} $. Эту неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа: $ \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{25}{3} $

139. Найдите произведение:

1) $ \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{20}; $

2) $ 6 \cdot \frac{7}{18}; $

3) $ \frac{3}{8} \cdot \left(-2\frac{2}{3}\right). $

1) Чтобы найти произведение двух обыкновенных дробей, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Результат первого умножения будет числителем новой дроби, а второго — знаменателем. Перед умножением удобно выполнить сокращение: разделим числитель первой дроби 5 и знаменатель второй дроби 20 на 5; а также разделим числитель второй дроби 3 и знаменатель первой дроби 6 на 3.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{20} = \frac{\sout{5}^1}{\sout{6}_2} \cdot \frac{\sout{3}^1}{\sout{20}_4} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

2) Для умножения целого числа на дробь, представим целое число как дробь со знаменателем 1. Затем выполним умножение дробей. Сократим число 6 и знаменатель 18 на их общий делитель 6.

$6 \cdot \frac{7}{18} = \frac{6}{1} \cdot \frac{7}{18} = \frac{\sout{6}^1 \cdot 7}{1 \cdot \sout{18}_3} = \frac{7}{3}$

Полученная дробь является неправильной (числитель больше знаменателя). Преобразуем ее в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком.

$7 \div 3 = 2$ (остаток $1$)

$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Ответ: $2\frac{1}{3}$

3) Для выполнения этого произведения, сперва преобразуем смешанное число $-2\frac{2}{3}$ в неправильную дробь. Умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель, знак минус сохраняется.

$-2\frac{2}{3} = -(\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{8}{3}$

Теперь умножим полученную дробь на $\frac{3}{8}$. Произведение положительного числа на отрицательное дает отрицательное число.

$\frac{3}{8} \cdot (-\frac{8}{3}) = -(\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3})$

Замечаем, что мы умножаем дробь на ей обратную, что всегда дает в результате 1. Сократим числители и знаменатели.

$-(\frac{\sout{3}^1}{\sout{8}_1} \cdot \frac{\sout{8}^1}{\sout{3}_1}) = -(1 \cdot 1) = -1$

Ответ: -1