Номер 129, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 129, страница 31.

Условие.

129. Упростите выражение:

$\frac{1}{(a-1)(a-3)} + \frac{1}{(a-3)(a-5)} + \frac{1}{(a-5)(a-7)}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения будем выполнять сложение дробей последовательно, группируя их попарно.

1. Сложение первых двух дробей

Сначала сложим первые две дроби: $\frac{1}{(a-1)(a-3)} + \frac{1}{(a-3)(a-5)}$.

Общим знаменателем для них является выражение $(a-1)(a-3)(a-5)$. Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(a-5)$, для второй — $(a-1)$.

$\frac{1 \cdot (a-5)}{(a-1)(a-3)(a-5)} + \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a-3)(a-5)} = \frac{(a-5) + (a-1)}{(a-1)(a-3)(a-5)}$

Упростим числитель полученной дроби:

$\frac{a-5+a-1}{(a-1)(a-3)(a-5)} = \frac{2a-6}{(a-1)(a-3)(a-5)}$

В числителе можно вынести за скобки общий множитель 2:

$\frac{2(a-3)}{(a-1)(a-3)(a-5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-3)$, при условии, что $a \neq 3$:

$\frac{2}{(a-1)(a-5)}$

2. Сложение результата с третьей дробью

Теперь к полученному выражению прибавим третью дробь из исходного примера:

$\frac{2}{(a-1)(a-5)} + \frac{1}{(a-5)(a-7)}$

Общим знаменателем для этих дробей является выражение $(a-1)(a-5)(a-7)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(a-7)$, для второй — $(a-1)$.

$\frac{2 \cdot (a-7)}{(a-1)(a-5)(a-7)} + \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a-5)(a-7)} = \frac{2(a-7) + (a-1)}{(a-1)(a-5)(a-7)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a-14+a-1}{(a-1)(a-5)(a-7)} = \frac{3a-15}{(a-1)(a-5)(a-7)}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель 3:

$\frac{3(a-5)}{(a-1)(a-5)(a-7)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-5)$, при условии, что $a \neq 5$:

$\frac{3}{(a-1)(a-7)}$

Таким образом, исходное выражение упрощается до $\frac{3}{(a-1)(a-7)}$.

Ответ: $\frac{3}{(a-1)(a-7)}$