Номер 125, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 125, страница 30.

Условие.

125. Докажите тождество:

1) $\frac{a+3}{a^2-3a} + \frac{a-3}{3a+9} + \frac{12}{9-a^2} = \frac{a-3}{3a};$

2) $\frac{b-4}{2a-1} - \frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b+8a} = \frac{2}{2a-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Первым шагом разложим знаменатели дробей на множители. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя третьей дроби.

$ \frac{a+3}{a^2-3a} + \frac{a-3}{3a+9} + \frac{12}{9-a^2} = \frac{a+3}{a(a-3)} + \frac{a-3}{3(a+3)} + \frac{12}{(3-a)(3+a)} $

Чтобы привести знаменатели к общему виду, вынесем $-1$ из скобки $(3-a)$ в знаменателе третьей дроби:

$ \frac{a+3}{a(a-3)} + \frac{a-3}{3(a+3)} - \frac{12}{(a-3)(a+3)} $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $3a(a-3)(a+3)$:

$ \frac{3(a+3)(a+3)}{3a(a-3)(a+3)} + \frac{a(a-3)(a-3)}{3a(a-3)(a+3)} - \frac{12 \cdot 3a}{3a(a-3)(a+3)} $

Запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$ \frac{3(a+3)^2 + a(a-3)^2 - 36a}{3a(a-3)(a+3)} = \frac{3(a^2+6a+9) + a(a^2-6a+9) - 36a}{3a(a-3)(a+3)} $

Упростим числитель:

$ \frac{3a^2+18a+27 + a^3-6a^2+9a - 36a}{3a(a-3)(a+3)} = \frac{a^3 - 3a^2 - 9a + 27}{3a(a-3)(a+3)} $

Разложим числитель на множители методом группировки:

$ a^3 - 3a^2 - 9a + 27 = a^2(a-3) - 9(a-3) = (a-3)(a^2-9) = (a-3)(a-3)(a+3) = (a-3)^2(a+3) $

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим:

$ \frac{(a-3)^2(a+3)}{3a(a-3)(a+3)} = \frac{a-3}{3a} $

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой части. Тождество доказано для всех $a$, при которых знаменатели исходных дробей не обращаются в ноль ($a \neq 0, a \neq \pm 3$).

Ответ: тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть. Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби.

Знаменатель $2ab-4-b+8a$ разложим методом группировки:

$ (2ab+8a) - (b+4) = 2a(b+4) - 1(b+4) = (2a-1)(b+4) $

Числитель $b^2-2b-24$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни по теореме Виета: произведение корней равно $-24$, а сумма равна $2$. Корни: $b_1=6$ и $b_2=-4$. Тогда разложение имеет вид:

$ b^2-2b-24 = (b-6)(b+4) $

Подставим разложения в исходное выражение:

$ \frac{b-4}{2a-1} - \frac{(b-6)(b+4)}{(2a-1)(b+4)} $

Сократим вторую дробь на общий множитель $(b+4)$, при условии, что $b+4 \neq 0$ (т.е. $b \neq -4$):

$ \frac{b-4}{2a-1} - \frac{b-6}{2a-1} $

Так как у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание числителей:

$ \frac{(b-4)-(b-6)}{2a-1} = \frac{b-4-b+6}{2a-1} = \frac{2}{2a-1} $

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна правой части. Тождество доказано для всех $a$ и $b$, при которых знаменатели исходных дробей не обращаются в ноль ($2a-1 \neq 0$ и $b+4 \neq 0$, то есть $a \neq \frac{1}{2}$ и $b \neq -4$).

Ответ: тождество доказано.