Номер 118, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 118, страница 29.

Условие.

118. Найдите значение выражения:

1) $\frac{6}{5x - 20} - \frac{x - 5}{x^2 - 8x + 16}$, если $x = 5;$

2) $\frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} - \frac{1}{2y - 4y^2}$, если $y = -2\frac{3}{7}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Сначала упростим данное выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители:

$5x - 20 = 5(x - 4)$

$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$ (по формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$)

Выражение принимает вид:

$\frac{6}{5(x - 4)} - \frac{x-5}{(x - 4)^2}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $5(x - 4)^2$. Приведем дроби к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(x-4)$, а второй дроби на $5$:

$\frac{6(x - 4)}{5(x - 4)^2} - \frac{5(x-5)}{5(x - 4)^2} = \frac{6(x - 4) - 5(x-5)}{5(x - 4)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{6x - 24 - 5x + 25}{5(x - 4)^2} = \frac{x + 1}{5(x - 4)^2}$

Теперь подставим в полученное упрощенное выражение значение $x = 5$:

$\frac{5 + 1}{5(5 - 4)^2} = \frac{6}{5(1)^2} = \frac{6}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5}$

Результат можно также представить в виде десятичной дроби $1,2$ или смешанного числа $1\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$

2)

Сначала упростим данное выражение. Преобразуем знаменатель третьей дроби, вынеся за скобки общий множитель:

$2y - 4y^2 = 2y(1 - 2y) = -2y(2y - 1)$

Теперь перепишем исходное выражение, подставив разложенный знаменатель:

$\frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} - \frac{1}{2y - 4y^2} = \frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} - \frac{1}{-2y(2y - 1)} = \frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} + \frac{1}{2y(2y - 1)}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $2y(2y - 1)$. Приведем все дроби к общему знаменателю:

$\frac{(2y - 1)(2y - 1)}{2y(2y - 1)} - \frac{2y \cdot 2y}{2y(2y - 1)} + \frac{1}{2y(2y - 1)}$

Объединим дроби под одним знаменателем:

$\frac{(2y - 1)^2 - 4y^2 + 1}{2y(2y - 1)}$

Раскроем квадрат в числителе по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$\frac{(4y^2 - 4y + 1) - 4y^2 + 1}{2y(2y - 1)} = \frac{4y^2 - 4y + 1 - 4y^2 + 1}{2y(2y - 1)} = \frac{-4y + 2}{2y(2y - 1)}$

В числителе вынесем общий множитель $-2$ за скобки:

$\frac{-2(2y - 1)}{2y(2y - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $2(2y - 1)$, при условии, что $y \neq 0$ и $y \neq \frac{1}{2}$:

$\frac{-1}{y}$

Теперь подставим в полученное выражение значение $y = -2\frac{3}{7}$. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$y = -2\frac{3}{7} = -(\frac{2 \cdot 7 + 3}{7}) = -\frac{17}{7}$

Вычислим значение выражения:

$-\frac{1}{y} = -\frac{1}{-\frac{17}{7}} = -(-\frac{7}{17}) = \frac{7}{17}$

Ответ: $\frac{7}{17}$