Номер 117, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 117, страница 29.

Условие.

117. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $\frac{7}{2a - 4} - \frac{12}{a^2 - 4} - \frac{3}{a + 2}$, если $a = 5;$

2) $\frac{2c + 3}{2c^2 - 3c} + \frac{2c - 3}{2c^2 + 3c} - \frac{16c}{4c^2 - 9}$, если $c = -0,8;$

3) $\frac{m^2 + 16n^2}{m^2 - 16n^2} - \frac{m + 4n}{2m - 8n}$, если $m = 3, n = 0,5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $ \frac{7}{2a-4} - \frac{12}{a^2-4} - \frac{3}{a+2} $.

Для начала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$ 2a-4 = 2(a-2) $

$ a^2-4 = (a-2)(a+2) $ (формула разности квадратов)

$ a+2 = a+2 $

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих выражений — это $ 2(a-2)(a+2) $.

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю:

$ \frac{7}{2(a-2)} - \frac{12}{(a-2)(a+2)} - \frac{3}{a+2} = \frac{7(a+2)}{2(a-2)(a+2)} - \frac{12 \cdot 2}{2(a-2)(a+2)} - \frac{3 \cdot 2(a-2)}{2(a-2)(a+2)} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{7(a+2) - 24 - 6(a-2)}{2(a-2)(a+2)} = \frac{7a + 14 - 24 - (6a-12)}{2(a-2)(a+2)} = \frac{7a + 14 - 24 - 6a + 12}{2(a-2)(a+2)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(7a-6a) + (14-24+12)}{2(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{2(a-2)(a+2)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a+2) $ (при условии, что $ a+2 \neq 0 $):

$ \frac{1}{2(a-2)} $

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $ a = 5 $:

$ \frac{1}{2(5-2)} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{6} $.

2) Упростим выражение $ \frac{2c+3}{2c^2-3c} + \frac{2c-3}{2c^2+3c} - \frac{16c}{4c^2-9} $.

Разложим знаменатели на множители:

$ 2c^2-3c = c(2c-3) $

$ 2c^2+3c = c(2c+3) $

$ 4c^2-9 = (2c-3)(2c+3) $ (формула разности квадратов)

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $ c(2c-3)(2c+3) $.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(2c+3)(2c+3)}{c(2c-3)(2c+3)} + \frac{(2c-3)(2c-3)}{c(2c-3)(2c+3)} - \frac{16c \cdot c}{c(2c-3)(2c+3)} $

Выполним действия в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$ \frac{(2c+3)^2 + (2c-3)^2 - 16c^2}{c(2c-3)(2c+3)} = \frac{(4c^2+12c+9) + (4c^2-12c+9) - 16c^2}{c(4c^2-9)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{4c^2+12c+9 + 4c^2-12c+9 - 16c^2}{c(4c^2-9)} = \frac{(4c^2+4c^2-16c^2) + (12c-12c) + (9+9)}{c(4c^2-9)} = \frac{18 - 8c^2}{c(4c^2-9)} $

Вынесем в числителе множитель $ -2 $ за скобки и сократим дробь:

$ \frac{-2(4c^2-9)}{c(4c^2-9)} = -\frac{2}{c} $

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $ c = -0,8 $:

$ -\frac{2}{-0,8} = \frac{2}{0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5 $

Ответ: $ 2,5 $.

3) Упростим выражение $ \frac{m^2+16n^2}{m^2-16n^2} - \frac{m+4n}{2m-8n} $.

Разложим знаменатели на множители:

$ m^2-16n^2 = (m-4n)(m+4n) $ (формула разности квадратов)

$ 2m-8n = 2(m-4n) $

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $ 2(m-4n)(m+4n) $.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2(m^2+16n^2)}{2(m-4n)(m+4n)} - \frac{(m+4n)(m+4n)}{2(m-4n)(m+4n)} $

Выполним действия в числителе:

$ \frac{2m^2+32n^2 - (m+4n)^2}{2(m-4n)(m+4n)} = \frac{2m^2+32n^2 - (m^2+8mn+16n^2)}{2(m^2-16n^2)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{2m^2+32n^2 - m^2-8mn-16n^2}{2(m^2-16n^2)} = \frac{m^2-8mn+16n^2}{2(m^2-16n^2)} $

Числитель является полным квадратом разности $ (m-4n)^2 $. Запишем выражение в виде:

$ \frac{(m-4n)^2}{2(m-4n)(m+4n)} $

Сократим дробь на $ (m-4n) $ (при условии, что $ m-4n \neq 0 $):

$ \frac{m-4n}{2(m+4n)} $

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $ m=3 $ и $ n=0,5 $:

$ \frac{3-4(0,5)}{2(3+4(0,5))} = \frac{3-2}{2(3+2)} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} = 0,1 $

Ответ: $ 0,1 $.