Номер 113, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 113, страница 29.

Условие.

113. Упростите выражение:

1) $\frac{m+n}{m-n} - \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$;

2) $\frac{x-y}{x+y} + \frac{y^2}{2xy+x^2+y^2}$;

3) $\frac{2a}{4a^2-1} - \frac{a+4}{2a^2+a}$;

4) $\frac{b-2}{b^2+6b+9} - \frac{b}{b^2-9}$;

5) $\frac{x-6}{x^2+3x} + \frac{x}{x+3} - \frac{x-3}{x}$;

6) $\frac{y+2}{y-2} - \frac{y-2}{y+2} - \frac{16}{y^2-4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{m+n}{m-n} - \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$
Знаменатель второй дроби $m^2-n^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$. Это и будет общий знаменатель.
Приведем дроби к общему знаменателю $(m-n)(m+n)$, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(m+n)$:
$\frac{(m+n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{m^2+n^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2 - (m^2+n^2)}{m^2-n^2}$
Раскроем скобки в числителе. По формуле квадрата суммы $(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$:
$\frac{m^2+2mn+n^2 - m^2 - n^2}{m^2-n^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{2mn}{m^2-n^2}$
Ответ: $\frac{2mn}{m^2-n^2}$

2) $\frac{x-y}{x+y} + \frac{y^2}{2xy+x^2+y^2}$
Знаменатель второй дроби $x^2+2xy+y^2$ является полным квадратом суммы: $(x+y)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x+y)^2$, домножив первую дробь на $(x+y)$:
$\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2} + \frac{y^2}{(x+y)^2} = \frac{(x-y)(x+y) + y^2}{(x+y)^2}$
Раскроем скобки в числителе. По формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:
$\frac{x^2-y^2 + y^2}{(x+y)^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{x^2}{(x+y)^2}$
Ответ: $\frac{x^2}{(x+y)^2}$

3) $\frac{2a}{4a^2-1} - \frac{a+4}{2a^2+a}$
Разложим знаменатели на множители:
$4a^2-1 = (2a-1)(2a+1)$ (формула разности квадратов).
$2a^2+a = a(2a+1)$ (вынесение общего множителя).
Общий знаменатель: $a(2a-1)(2a+1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{2a \cdot a}{a(2a-1)(2a+1)} - \frac{(a+4)(2a-1)}{a(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a^2 - (a+4)(2a-1)}{a(2a-1)(2a+1)}$
Раскроем скобки в числителе: $(a+4)(2a-1) = 2a^2 - a + 8a - 4 = 2a^2 + 7a - 4$.
$\frac{2a^2 - (2a^2 + 7a - 4)}{a(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a^2 - 2a^2 - 7a + 4}{a(2a-1)(2a+1)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе и свернем знаменатель обратно:
$\frac{4-7a}{a(4a^2-1)}$
Ответ: $\frac{4-7a}{a(4a^2-1)}$

4) $\frac{b-2}{b^2+6b+9} - \frac{b}{b^2-9}$
Разложим знаменатели на множители:
$b^2+6b+9 = (b+3)^2$ (формула полного квадрата).
$b^2-9 = (b-3)(b+3)$ (формула разности квадратов).
Общий знаменатель: $(b-3)(b+3)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(b-2)(b-3)}{(b-3)(b+3)^2} - \frac{b(b+3)}{(b-3)(b+3)^2} = \frac{(b-2)(b-3) - b(b+3)}{(b-3)(b+3)^2}$
Раскроем скобки в числителе:
$(b-2)(b-3) = b^2 - 3b - 2b + 6 = b^2 - 5b + 6$.
$b(b+3) = b^2 + 3b$.
$\frac{(b^2 - 5b + 6) - (b^2 + 3b)}{(b-3)(b+3)^2} = \frac{b^2 - 5b + 6 - b^2 - 3b}{(b-3)(b+3)^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{6-8b}{(b-3)(b+3)^2}$
Ответ: $\frac{6-8b}{(b-3)(b+3)^2}$

5) $\frac{x-6}{x^2+3x} + \frac{x}{x+3} - \frac{x-3}{x}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби: $x^2+3x = x(x+3)$.
Общий знаменатель для всех трех дробей: $x(x+3)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x-6}{x(x+3)} + \frac{x \cdot x}{x(x+3)} - \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} = \frac{(x-6) + x^2 - (x-3)(x+3)}{x(x+3)}$
Раскроем скобки в числителе. По формуле разности квадратов $(x-3)(x+3) = x^2-9$:
$\frac{x-6 + x^2 - (x^2-9)}{x(x+3)} = \frac{x-6+x^2-x^2+9}{x(x+3)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{x+3}{x(x+3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x+3)$:
$\frac{1}{x}$
Ответ: $\frac{1}{x}$

6) $\frac{y+2}{y-2} - \frac{y-2}{y+2} - \frac{16}{y^2-4}$
Разложим на множители знаменатель третьей дроби по формуле разности квадратов: $y^2-4 = (y-2)(y+2)$.
Это и будет общий знаменатель для всех дробей.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(y+2)(y+2)}{(y-2)(y+2)} - \frac{(y-2)(y-2)}{(y-2)(y+2)} - \frac{16}{(y-2)(y+2)} = \frac{(y+2)^2 - (y-2)^2 - 16}{y^2-4}$
Раскроем квадраты в числителе:
$(y+2)^2 = y^2+4y+4$.
$(y-2)^2 = y^2-4y+4$.
$\frac{(y^2+4y+4) - (y^2-4y+4) - 16}{y^2-4} = \frac{y^2+4y+4 - y^2+4y-4 - 16}{y^2-4}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{8y-16}{y^2-4} = \frac{8(y-2)}{(y-2)(y+2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(y-2)$:
$\frac{8}{y+2}$
Ответ: $\frac{8}{y+2}$