Номер 107, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 107, страница 27.

Условие.

107. Упростите выражение:

1) $\frac{b}{b-5} - \frac{4b-1}{4b-20}$;

2) $\frac{2}{m} - \frac{16}{m^2+8m}$;

3) $\frac{a-2}{2a-6} - \frac{a-1}{3a-9}$;

4) $\frac{a^2+b^2}{2a^2+2ab} + \frac{b}{a+b}$;

5) $\frac{b+4}{ab-b^2} - \frac{a+4}{a^2-ab}$;

6) $\frac{c-4}{4c+24} + \frac{4c+9}{c^2+6c}$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{b}{b-5} - \frac{4b-1}{4b-20}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $4b - 20 = 4(b - 5)$.

Выражение принимает вид: $\frac{b}{b-5} - \frac{4b-1}{4(b-5)}$.

Наименьший общий знаменатель для этих дробей равен $4(b-5)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби равен 4, для второй - 1.

$\frac{4 \cdot b}{4(b-5)} - \frac{4b-1}{4(b-5)} = \frac{4b - (4b-1)}{4(b-5)}$

Упростим числитель: $4b - 4b + 1 = 1$.

В результате получаем: $\frac{1}{4(b-5)}$.

Ответ: $\frac{1}{4(b-5)}$

2) $\frac{2}{m} - \frac{16}{m^2 + 8m}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $m^2 + 8m = m(m + 8)$.

Выражение принимает вид: $\frac{2}{m} - \frac{16}{m(m+8)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $m(m+8)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $(m+8)$, для второй - 1.

$\frac{2(m+8)}{m(m+8)} - \frac{16}{m(m+8)} = \frac{2(m+8) - 16}{m(m+8)}$

Упростим числитель: $2m + 16 - 16 = 2m$.

Получаем дробь: $\frac{2m}{m(m+8)}$.

Сократим дробь на $m$: $\frac{2}{m+8}$.

Ответ: $\frac{2}{m+8}$

3) $\frac{a-2}{2a-6} - \frac{a-1}{3a-9}$

Разложим на множители знаменатели обеих дробей: $2a-6 = 2(a-3)$ и $3a-9 = 3(a-3)$.

Выражение принимает вид: $\frac{a-2}{2(a-3)} - \frac{a-1}{3(a-3)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $6(a-3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен 3, для второй - 2.

$\frac{3(a-2)}{6(a-3)} - \frac{2(a-1)}{6(a-3)} = \frac{3(a-2) - 2(a-1)}{6(a-3)}$

Упростим числитель: $3a - 6 - (2a - 2) = 3a - 6 - 2a + 2 = a - 4$.

В результате получаем: $\frac{a-4}{6(a-3)}$.

Ответ: $\frac{a-4}{6(a-3)}$

4) $\frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a+b}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $2a^2 + 2ab = 2a(a+b)$.

Выражение принимает вид: $\frac{a^2+b^2}{2a(a+b)} + \frac{b}{a+b}$.

Наименьший общий знаменатель равен $2a(a+b)$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен $2a$.

$\frac{a^2+b^2}{2a(a+b)} + \frac{b \cdot 2a}{2a(a+b)} = \frac{a^2+b^2+2ab}{2a(a+b)}$

Числитель $a^2+2ab+b^2$ является полным квадратом: $(a+b)^2$.

Получаем дробь: $\frac{(a+b)^2}{2a(a+b)}$.

Сократим дробь на $(a+b)$: $\frac{a+b}{2a}$.

Ответ: $\frac{a+b}{2a}$

5) $\frac{b+4}{ab-b^2} - \frac{a+4}{a^2-ab}$

Разложим на множители знаменатели: $ab-b^2 = b(a-b)$ и $a^2-ab = a(a-b)$.

Выражение принимает вид: $\frac{b+4}{b(a-b)} - \frac{a+4}{a(a-b)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $ab(a-b)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $a$, для второй - $b$.

$\frac{a(b+4)}{ab(a-b)} - \frac{b(a+4)}{ab(a-b)} = \frac{a(b+4) - b(a+4)}{ab(a-b)}$

Упростим числитель: $ab+4a - (ab+4b) = ab+4a-ab-4b = 4a-4b = 4(a-b)$.

Получаем дробь: $\frac{4(a-b)}{ab(a-b)}$.

Сократим дробь на $(a-b)$: $\frac{4}{ab}$.

Ответ: $\frac{4}{ab}$

6) $\frac{c-4}{4c+24} + \frac{4c+9}{c^2+6c}$

Разложим на множители знаменатели: $4c+24 = 4(c+6)$ и $c^2+6c = c(c+6)$.

Выражение принимает вид: $\frac{c-4}{4(c+6)} + \frac{4c+9}{c(c+6)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $4c(c+6)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $c$, для второй - $4$.

$\frac{c(c-4)}{4c(c+6)} + \frac{4(4c+9)}{4c(c+6)} = \frac{c(c-4) + 4(4c+9)}{4c(c+6)}$

Упростим числитель: $c^2-4c + 16c+36 = c^2+12c+36$.

Числитель $c^2+12c+36$ является полным квадратом: $(c+6)^2$.

Получаем дробь: $\frac{(c+6)^2}{4c(c+6)}$.

Сократим дробь на $(c+6)$: $\frac{c+6}{4c}$.

Ответ: $\frac{c+6}{4c}$