Страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

102. Выполните действия:

1) $\frac{2}{x} + \frac{3x-2}{x+1}$;

2) $\frac{m}{n} - \frac{m}{m+n}$;

3) $\frac{a}{a-3} - \frac{3}{a+3}$;

4) $\frac{c}{3c-1} - \frac{c}{3c+1}$;

5) $\frac{x}{2y+1} - \frac{x}{3y-2}$;

6) $\frac{a-b}{b} - \frac{a-b}{a+b}$.

1) $\frac{2}{x} + \frac{3x-2}{x+1}$

Чтобы сложить две алгебраические дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае знаменатели $x$ и $x+1$ не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель будет их произведением: $x(x+1)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $x+1$, а второй дроби на $x$:

$\frac{2}{x} + \frac{3x-2}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)} + \frac{x(3x-2)}{x(x+1)}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{2(x+1) + x(3x-2)}{x(x+1)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$2(x+1) + x(3x-2) = 2x + 2 + 3x^2 - 2x = 3x^2 + 2$

Таким образом, получаем итоговую дробь:

$\frac{3x^2 + 2}{x(x+1)}$

Ответ: $\frac{3x^2+2}{x(x+1)}$

2) $\frac{m}{n} - \frac{m}{m+n}$

Находим общий знаменатель для дробей. Знаменатели $n$ и $m+n$ не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель равен их произведению: $n(m+n)$.

Приводим дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножаем на $m+n$, вторую — на $n$:

$\frac{m(m+n)}{n(m+n)} - \frac{m \cdot n}{n(m+n)}$

Вычитаем числители, оставляя знаменатель прежним:

$\frac{m(m+n) - mn}{n(m+n)}$

Упрощаем выражение в числителе:

$m(m+n) - mn = m^2 + mn - mn = m^2$

Записываем окончательный результат:

$\frac{m^2}{n(m+n)}$

Ответ: $\frac{m^2}{n(m+n)}$

3) $\frac{a}{a-3} - \frac{3}{a+3}$

Общий знаменатель для дробей со знаменателями $a-3$ и $a+3$ является их произведение: $(a-3)(a+3)$. Это выражение можно записать с помощью формулы разности квадратов: $a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.

Приводим дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножаем на $a+3$, вторую — на $a-3$:

$\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)} - \frac{3(a-3)}{(a-3)(a+3)}$

Производим вычитание числителей:

$\frac{a(a+3) - 3(a-3)}{a^2-9}$

Раскрываем скобки в числителе и упрощаем:

$a(a+3) - 3(a-3) = a^2 + 3a - (3a - 9) = a^2 + 3a - 3a + 9 = a^2 + 9$

Получаем итоговую дробь:

$\frac{a^2 + 9}{a^2 - 9}$

Ответ: $\frac{a^2+9}{a^2-9}$

4) $\frac{c}{3c-1} - \frac{c}{3c+1}$

Общий знаменатель для дробей со знаменателями $3c-1$ и $3c+1$ равен их произведению $(3c-1)(3c+1)$, что по формуле разности квадратов равно $(3c)^2 - 1^2 = 9c^2 - 1$.

Домножим первую дробь на $3c+1$, а вторую на $3c-1$:

$\frac{c(3c+1)}{(3c-1)(3c+1)} - \frac{c(3c-1)}{(3c-1)(3c+1)}$

Выполняем вычитание числителей:

$\frac{c(3c+1) - c(3c-1)}{9c^2-1}$

Упрощаем числитель:

$c(3c+1) - c(3c-1) = (3c^2 + c) - (3c^2 - c) = 3c^2 + c - 3c^2 + c = 2c$

Записываем результат:

$\frac{2c}{9c^2-1}$

Ответ: $\frac{2c}{9c^2-1}$

5) $\frac{x}{2y+1} - \frac{x}{3y-2}$

Находим общий знаменатель, который равен произведению знаменателей: $(2y+1)(3y-2)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{x(3y-2)}{(2y+1)(3y-2)} - \frac{x(2y+1)}{(2y+1)(3y-2)}$

Вычитаем числители:

$\frac{x(3y-2) - x(2y+1)}{(2y+1)(3y-2)}$

Раскрываем скобки и упрощаем числитель:

$x(3y-2) - x(2y+1) = 3xy - 2x - (2xy + x) = 3xy - 2x - 2xy - x = xy - 3x$

Можно вынести общий множитель $x$ за скобки в числителе: $x(y-3)$.

Итоговое выражение:

$\frac{x(y-3)}{(2y+1)(3y-2)}$

Ответ: $\frac{x(y-3)}{(2y+1)(3y-2)}$

6) $\frac{a-b}{b} - \frac{a-b}{a+b}$

Общий знаменатель для данных дробей - это произведение их знаменателей: $b(a+b)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(a-b)(a+b)}{b(a+b)} - \frac{(a-b)b}{b(a+b)}$

Объединяем дроби, вычитая числители:

$\frac{(a-b)(a+b) - (a-b)b}{b(a+b)}$

Упростим числитель. Можно вынести общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)[(a+b) - b] = (a-b)(a+b-b) = (a-b)a = a(a-b)$

Записываем окончательный вид дроби:

$\frac{a(a-b)}{b(a+b)}$

Ответ: $\frac{a(a-b)}{b(a+b)}$

103. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{a}{a-b} + \frac{a}{b}$

2) $\frac{4}{x} - \frac{5x+4}{x+2}$

3) $\frac{b}{b-2} - \frac{2}{b+2}$

1) Чтобы представить выражение $\frac{a}{a-b} + \frac{a}{b}$ в виде дроби, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для данных дробей — это произведение их знаменателей, то есть $b(a-b)$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $b$, а второй дроби — на $(a-b)$:

$\frac{a}{a-b} + \frac{a}{b} = \frac{a \cdot b}{b(a-b)} + \frac{a \cdot (a-b)}{b(a-b)}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{ab + a(a-b)}{b(a-b)} = \frac{ab + a^2 - ab}{b(a-b)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2}{b(a-b)}$

Ответ: $\frac{a^2}{b(a-b)}$

2) Чтобы представить выражение $\frac{4}{x} - \frac{5x+4}{x+2}$ в виде дроби, найдем общий знаменатель. Общим знаменателем для дробей $\frac{4}{x}$ и $\frac{5x+4}{x+2}$ является их произведение $x(x+2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x+2)$, для второй — $x$:

$\frac{4}{x} - \frac{5x+4}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x(x+2)} - \frac{x(5x+4)}{x(x+2)}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого из числителя первой дроби вычтем числитель второй:

$\frac{4(x+2) - x(5x+4)}{x(x+2)} = \frac{4x+8 - (5x^2+4x)}{x(x+2)} = \frac{4x+8 - 5x^2 - 4x}{x(x+2)}$

Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые:

$\frac{8 - 5x^2}{x(x+2)}$

Ответ: $\frac{8 - 5x^2}{x(x+2)}$

3) Чтобы представить выражение $\frac{b}{b-2} - \frac{2}{b+2}$ в виде дроби, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели $(b-2)$ и $(b+2)$ являются сопряженными выражениями. Их произведение равно разности квадратов: $(b-2)(b+2) = b^2 - 4$. Это и будет общим знаменателем.

Умножим первую дробь на дополнительный множитель $(b+2)$, а вторую — на $(b-2)$:

$\frac{b}{b-2} - \frac{2}{b+2} = \frac{b(b+2)}{(b-2)(b+2)} - \frac{2(b-2)}{(b-2)(b+2)}$

Теперь выполним вычитание числителей, оставив общий знаменатель без изменений:

$\frac{b(b+2) - 2(b-2)}{b^2-4} = \frac{b^2+2b - (2b-4)}{b^2-4} = \frac{b^2+2b - 2b+4}{b^2-4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{b^2+4}{b^2-4}$

Ответ: $\frac{b^2+4}{b^2-4}$

104. Упростите выражение:

1) $\frac{1}{b(a-b)} - \frac{1}{a(a-b)};$

2) $\frac{5}{a} + \frac{30}{a(a-6)};$

3) $\frac{3}{x-2} - \frac{2x+2}{x(x-2)};$

4) $\frac{y}{2(y+3)} - \frac{y}{5(y+3)};$

5) $\frac{5m+3}{2(m+1)} - \frac{7m+4}{3(m+1)};$

6) $\frac{c-a}{a(a+b)} + \frac{c+b}{b(a+b)}.$

1) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{b(a - b)} - \frac{1}{a(a - b)}$, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей является выражение $ab(a - b)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $a$, а второй дроби на $b$:

$\frac{1 \cdot a}{b(a - b) \cdot a} - \frac{1 \cdot b}{a(a - b) \cdot b} = \frac{a}{ab(a - b)} - \frac{b}{ab(a - b)}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{a - b}{ab(a - b)}$

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $(a - b)$:

$\frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

2) В выражении $\frac{5}{a} + \frac{30}{a(a - 6)}$ приведем дроби к общему знаменателю $a(a - 6)$.

Для этого домножим первую дробь на множитель $(a - 6)$:

$\frac{5(a - 6)}{a(a - 6)} + \frac{30}{a(a - 6)} = \frac{5a - 30 + 30}{a(a - 6)}$

Упростим числитель:

$\frac{5a}{a(a - 6)}$

Сократим дробь на $a$:

$\frac{5}{a - 6}$

Ответ: $\frac{5}{a-6}$

3) В выражении $\frac{3}{x - 2} - \frac{2x + 2}{x(x - 2)}$ общий знаменатель $x(x - 2)$.

Домножим первую дробь на $x$:

$\frac{3x}{x(x - 2)} - \frac{2x + 2}{x(x - 2)} = \frac{3x - (2x + 2)}{x(x - 2)}$

Раскроем скобки в числителе. Обратите внимание, что знак минус перед дробью относится ко всему числителю:

$\frac{3x - 2x - 2}{x(x - 2)} = \frac{x - 2}{x(x - 2)}$

Сократим дробь на $(x - 2)$:

$\frac{1}{x}$

Ответ: $\frac{1}{x}$

4) В выражении $\frac{y}{2(y + 3)} - \frac{y}{5(y + 3)}$ общий знаменатель равен $10(y + 3)$.

Домножим первую дробь на 5, а вторую на 2:

$\frac{5y}{10(y + 3)} - \frac{2y}{10(y + 3)} = \frac{5y - 2y}{10(y + 3)}$

Упростим числитель:

$\frac{3y}{10(y + 3)}$

Ответ: $\frac{3y}{10(y+3)}$

5) В выражении $\frac{5m + 3}{2(m + 1)} - \frac{7m + 4}{3(m + 1)}$ общий знаменатель равен $6(m + 1)$.

Домножим первую дробь на 3, а вторую на 2:

$\frac{3(5m + 3)}{6(m + 1)} - \frac{2(7m + 4)}{6(m + 1)} = \frac{(15m + 9) - (14m + 8)}{6(m + 1)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{15m + 9 - 14m - 8}{6(m + 1)} = \frac{m + 1}{6(m + 1)}$

Сократим дробь на $(m + 1)$:

$\frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

6) В выражении $\frac{c - a}{a(a + b)} + \frac{c + b}{b(a + b)}$ общий знаменатель равен $ab(a + b)$.

Домножим первую дробь на $b$, а вторую на $a$:

$\frac{b(c - a)}{ab(a + b)} + \frac{a(c + b)}{ab(a + b)} = \frac{bc - ab + ac + ab}{ab(a + b)}$

Упростим числитель, взаимно уничтожив слагаемые $-ab$ и $ab$:

$\frac{bc + ac}{ab(a + b)}$

Вынесем в числителе общий множитель $c$ за скобки:

$\frac{c(b + a)}{ab(a + b)}$

Так как $b+a = a+b$, сократим дробь на $(a + b)$:

$\frac{c}{ab}$

Ответ: $\frac{c}{ab}$

105. Выполните действия:

1) $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)};$

2) $\frac{4}{b} - \frac{8}{b(b+2)};$

3) $\frac{x}{5(x+7)} - \frac{x}{6(x+7)};$

4) $\frac{4n+2}{3(n-1)} - \frac{5n+3}{4(n-1)};$

1) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{a(a+b)}$ и $\frac{1}{b(a+b)}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для данных дробей - это $ab(a+b)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $b$, а для второй - $a$.

$\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)} = \frac{1 \cdot b}{ab(a+b)} + \frac{1 \cdot a}{ab(a+b)} = \frac{b+a}{ab(a+b)}$

Теперь можно сократить числитель и знаменатель на общий множитель $(a+b)$:

$\frac{a+b}{ab(a+b)} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

2) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{4}{b} - \frac{8}{b(b+2)}$, приведем их к общему знаменателю, который равен $b(b+2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $(b+2)$. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{4}{b} - \frac{8}{b(b+2)} = \frac{4(b+2)}{b(b+2)} - \frac{8}{b(b+2)} = \frac{4(b+2) - 8}{b(b+2)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{4b + 8 - 8}{b(b+2)} = \frac{4b}{b(b+2)}$

Сократим дробь на $b$:

$\frac{4}{b+2}$

Ответ: $\frac{4}{b+2}$

3) Для вычитания дробей $\frac{x}{5(x+7)} - \frac{x}{6(x+7)}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $5(x+7)$ и $6(x+7)$ будет $30(x+7)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $6$, для второй - $5$.

$\frac{x}{5(x+7)} - \frac{x}{6(x+7)} = \frac{6x}{30(x+7)} - \frac{5x}{30(x+7)} = \frac{6x-5x}{30(x+7)}$

Упростим числитель:

$\frac{x}{30(x+7)}$

Ответ: $\frac{x}{30(x+7)}$

4) Выполним вычитание дробей $\frac{4n+2}{3(n-1)} - \frac{5n+3}{4(n-1)}$. Общий знаменатель для них - $12(n-1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $4$, для второй - $3$.

$\frac{4(4n+2)}{12(n-1)} - \frac{3(5n+3)}{12(n-1)} = \frac{4(4n+2) - 3(5n+3)}{12(n-1)}$

Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак "минус" перед второй дробью меняет знаки в ее числителе.

$\frac{16n + 8 - (15n + 9)}{12(n-1)} = \frac{16n + 8 - 15n - 9}{12(n-1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(16n - 15n) + (8 - 9)}{12(n-1)} = \frac{n-1}{12(n-1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(n-1)$:

$\frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

106. Выполните сложение или вычитание дробей:

1) $\frac{a}{a-2} - \frac{3a+1}{3a-6};$

2) $\frac{18}{b^2 + 3b} - \frac{6}{b};$

3) $\frac{2}{c+1} - \frac{c-1}{c^2+c};$

4) $\frac{d-1}{2d-8} + \frac{d}{d-4};$

5) $\frac{m+1}{3m-15} - \frac{m-1}{2m-10};$

6) $\frac{m-2n}{6m+6n} - \frac{m-3n}{4m+4n};$

7) $\frac{a^2+2}{a^2+2a} - \frac{a+4}{2a+4};$

8) $\frac{3x-4y}{x^2-2xy} - \frac{3y-x}{xy-2y^2};$

1) $\frac{a}{a-2} - \frac{3a+1}{3a-6}$

Для выполнения вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель второй дроби: $3a-6 = 3(a-2)$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{a}{a-2} - \frac{3a+1}{3(a-2)}$. Общий знаменатель - $3(a-2)$.

Приводим первую дробь к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3 \cdot a}{3(a-2)} - \frac{3a+1}{3(a-2)} = \frac{3a - (3a+1)}{3(a-2)} = \frac{3a - 3a - 1}{3(a-2)} = \frac{-1}{3(a-2)}$

Ответ: $-\frac{1}{3(a-2)}$

2) $\frac{18}{b^2+3b} - \frac{6}{b}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $b^2+3b = b(b+3)$. Общий знаменатель дробей - $b(b+3)$.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(b+3)$:

$\frac{18}{b(b+3)} - \frac{6(b+3)}{b(b+3)} = \frac{18 - (6b+18)}{b(b+3)} = \frac{18 - 6b - 18}{b(b+3)} = \frac{-6b}{b(b+3)}$

Сокращаем дробь на общий множитель $b$:

$\frac{-6b}{b(b+3)} = -\frac{6}{b+3}$

Ответ: $-\frac{6}{b+3}$

3) $\frac{2}{c+1} - \frac{c-1}{c^2+c}$

Найдем общий знаменатель, разложив второй знаменатель на множители: $c^2+c = c(c+1)$. Общий знаменатель - $c(c+1)$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее на $c$:

$\frac{2c}{c(c+1)} - \frac{c-1}{c(c+1)} = \frac{2c - (c-1)}{c(c+1)} = \frac{2c-c+1}{c(c+1)} = \frac{c+1}{c(c+1)}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(c+1)$:

$\frac{c+1}{c(c+1)} = \frac{1}{c}$

Ответ: $\frac{1}{c}$

4) $\frac{d-1}{2d-8} + \frac{d}{d-4}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $2d-8 = 2(d-4)$. Общий знаменатель дробей - $2(d-4)$.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на 2:

$\frac{d-1}{2(d-4)} + \frac{2d}{2(d-4)} = \frac{d-1+2d}{2(d-4)} = \frac{3d-1}{2(d-4)}$

Полученная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{3d-1}{2(d-4)}$

5) $\frac{m+1}{3m-15} - \frac{m-1}{2m-10}$

Разложим знаменатели на множители: $3m-15 = 3(m-5)$ и $2m-10 = 2(m-5)$.

Общий знаменатель равен $2 \cdot 3 \cdot (m-5) = 6(m-5)$.

При

107. Упростите выражение:

1) $\frac{b}{b-5} - \frac{4b-1}{4b-20}$;

2) $\frac{2}{m} - \frac{16}{m^2+8m}$;

3) $\frac{a-2}{2a-6} - \frac{a-1}{3a-9}$;

4) $\frac{a^2+b^2}{2a^2+2ab} + \frac{b}{a+b}$;

5) $\frac{b+4}{ab-b^2} - \frac{a+4}{a^2-ab}$;

6) $\frac{c-4}{4c+24} + \frac{4c+9}{c^2+6c}$;

1) $\frac{b}{b-5} - \frac{4b-1}{4b-20}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $4b - 20 = 4(b - 5)$.

Выражение принимает вид: $\frac{b}{b-5} - \frac{4b-1}{4(b-5)}$.

Наименьший общий знаменатель для этих дробей равен $4(b-5)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби равен 4, для второй - 1.

$\frac{4 \cdot b}{4(b-5)} - \frac{4b-1}{4(b-5)} = \frac{4b - (4b-1)}{4(b-5)}$

Упростим числитель: $4b - 4b + 1 = 1$.

В результате получаем: $\frac{1}{4(b-5)}$.

Ответ: $\frac{1}{4(b-5)}$

2) $\frac{2}{m} - \frac{16}{m^2 + 8m}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $m^2 + 8m = m(m + 8)$.

Выражение принимает вид: $\frac{2}{m} - \frac{16}{m(m+8)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $m(m+8)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $(m+8)$, для второй - 1.

$\frac{2(m+8)}{m(m+8)} - \frac{16}{m(m+8)} = \frac{2(m+8) - 16}{m(m+8)}$

Упростим числитель: $2m + 16 - 16 = 2m$.

Получаем дробь: $\frac{2m}{m(m+8)}$.

Сократим дробь на $m$: $\frac{2}{m+8}$.

Ответ: $\frac{2}{m+8}$

3) $\frac{a-2}{2a-6} - \frac{a-1}{3a-9}$

Разложим на множители знаменатели обеих дробей: $2a-6 = 2(a-3)$ и $3a-9 = 3(a-3)$.

Выражение принимает вид: $\frac{a-2}{2(a-3)} - \frac{a-1}{3(a-3)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $6(a-3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен 3, для второй - 2.

$\frac{3(a-2)}{6(a-3)} - \frac{2(a-1)}{6(a-3)} = \frac{3(a-2) - 2(a-1)}{6(a-3)}$

Упростим числитель: $3a - 6 - (2a - 2) = 3a - 6 - 2a + 2 = a - 4$.

В результате получаем: $\frac{a-4}{6(a-3)}$.

Ответ: $\frac{a-4}{6(a-3)}$

4) $\frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a+b}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $2a^2 + 2ab = 2a(a+b)$.

Выражение принимает вид: $\frac{a^2+b^2}{2a(a+b)} + \frac{b}{a+b}$.

Наименьший общий знаменатель равен $2a(a+b)$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен $2a$.

$\frac{a^2+b^2}{2a(a+b)} + \frac{b \cdot 2a}{2a(a+b)} = \frac{a^2+b^2+2ab}{2a(a+b)}$

Числитель $a^2+2ab+b^2$ является полным квадратом: $(a+b)^2$.

Получаем дробь: $\frac{(a+b)^2}{2a(a+b)}$.

Сократим дробь на $(a+b)$: $\frac{a+b}{2a}$.

Ответ: $\frac{a+b}{2a}$

5) $\frac{b+4}{ab-b^2} - \frac{a+4}{a^2-ab}$

Разложим на множители знаменатели: $ab-b^2 = b(a-b)$ и $a^2-ab = a(a-b)$.

Выражение принимает вид: $\frac{b+4}{b(a-b)} - \frac{a+4}{a(a-b)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $ab(a-b)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $a$, для второй - $b$.

$\frac{a(b+4)}{ab(a-b)} - \frac{b(a+4)}{ab(a-b)} = \frac{a(b+4) - b(a+4)}{ab(a-b)}$

Упростим числитель: $ab+4a - (ab+4b) = ab+4a-ab-4b = 4a-4b = 4(a-b)$.

Получаем дробь: $\frac{4(a-b)}{ab(a-b)}$.

Сократим дробь на $(a-b)$: $\frac{4}{ab}$.

Ответ: $\frac{4}{ab}$

6) $\frac{c-4}{4c+24} + \frac{4c+9}{c^2+6c}$

Разложим на множители знаменатели: $4c+24 = 4(c+6)$ и $c^2+6c = c(c+6)$.

Выражение принимает вид: $\frac{c-4}{4(c+6)} + \frac{4c+9}{c(c+6)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $4c(c+6)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $c$, для второй - $4$.

$\frac{c(c-4)}{4c(c+6)} + \frac{4(4c+9)}{4c(c+6)} = \frac{c(c-4) + 4(4c+9)}{4c(c+6)}$

Упростим числитель: $c^2-4c + 16c+36 = c^2+12c+36$.

Числитель $c^2+12c+36$ является полным квадратом: $(c+6)^2$.

Получаем дробь: $\frac{(c+6)^2}{4c(c+6)}$.

Сократим дробь на $(c+6)$: $\frac{c+6}{4c}$.

Ответ: $\frac{c+6}{4c}$