Страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями?

Чтобы сложить две или более рациональные дроби, у которых одинаковые знаменатели, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сложить их числители.
2. Записать полученную сумму в числитель новой дроби.
3. Знаменатель оставить без изменений.

Это правило можно выразить с помощью формулы. Пусть у нас есть две дроби $\frac{A}{C}$ и $\frac{B}{C}$, где $A$, $B$ и $C$ — это многочлены, и $C$ не равно нулю ($C \neq 0$). Их сумма вычисляется так:

$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$

После сложения числителей, если возможно, следует упростить полученную дробь. Упрощение заключается в разложении числителя и знаменателя на множители и сокращении общих множителей.

Пример 1: Простое сложение

Сложим дроби $\frac{7x}{y}$ и $\frac{2x}{y}$.
Решение: Знаменатели одинаковы ($y$), поэтому складываем числители:
$\frac{7x}{y} + \frac{2x}{y} = \frac{7x + 2x}{y} = \frac{9x}{y}$

Пример 2: Сложение с последующим упрощением

Сложим дроби $\frac{a^2}{a+5}$ и $\frac{5a}{a+5}$.
Решение: Складываем числители, так как знаменатели ($a+5$) одинаковы:
$\frac{a^2}{a+5} + \frac{5a}{a+5} = \frac{a^2 + 5a}{a+5}$
Теперь упростим результат. Вынесем общий множитель $a$ в числителе:
$\frac{a(a+5)}{a+5}$
Сократим общий множитель $(a+5)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{a\cancel{(a+5)}}{\cancel{a+5}} = a$
(При условии, что $a+5 \neq 0$, то есть $a \neq -5$).

Пример 3: Сложение дробей с противоположными знаменателями

Найти сумму $\frac{m^2-m}{m-n} + \frac{n^2-n}{n-m}$.
Решение: Сначала заметим, что знаменатели почти одинаковы: $m-n$ и $n-m$. Мы знаем, что $n-m = -(m-n)$. Преобразуем вторую дробь, чтобы знаменатели стали одинаковыми, вынеся минус за знак дроби:
$\frac{n^2-n}{n-m} = \frac{n^2-n}{-(m-n)} = -\frac{n^2-n}{m-n}$
Теперь исходное выражение можно переписать как вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{m^2-m}{m-n} - \frac{n^2-n}{m-n}$
Выполняем вычитание числителей:
$\frac{(m^2-m) - (n^2-n)}{m-n} = \frac{m^2-m-n^2+n}{m-n}$
Сгруппируем слагаемые в числителе и разложим на множители, используя формулу разности квадратов ($m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$):
$\frac{(m^2-n^2) - (m-n)}{m-n} = \frac{(m-n)(m+n) - 1 \cdot (m-n)}{m-n}$
Вынесем общий множитель $(m-n)$ за скобки:
$\frac{(m-n)(m+n-1)}{m-n}$
Сокращаем на $(m-n)$:
$m+n-1$

Ответ: Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. Полученное выражение следует по возможности упростить (сократить). Формула сложения: $\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$.

2. Как вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями?

Вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями — это алгебраическая операция, которая выполняется по аналогии с вычитанием обыкновенных дробей.

Правило

Чтобы найти разность двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычесть числитель второй дроби (вычитаемого), а знаменатель оставить без изменений.

В виде формулы это правило выглядит следующим образом:
$\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$
где $A$, $B$ и $C$ — многочлены, причем знаменатель $C$ не должен быть равен нулю ($C \neq 0$).

Пошаговый алгоритм вычитания:

1. Убедиться, что знаменатели вычитаемых дробей идентичны.
2. Сформировать новую дробь, оставив общий знаменатель прежним.
3. В числитель новой дроби записать разность числителей исходных дробей. Крайне важно: числитель вычитаемой дроби (второй дроби) следует взять в скобки, особенно если он состоит более чем из одного члена. Это поможет избежать ошибок со знаками при дальнейшем упрощении.
4. Раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые.
5. Если полученная дробь является сократимой, выполнить сокращение. Для этого нужно разложить числитель и знаменатель на множители и разделить их на общий множитель.

Пример

Найдем разность дробей $\frac{x^2+9}{x-3} - \frac{6x}{x-3}$.

1. Знаменатели дробей одинаковы и равны $x-3$.

2. Согласно правилу, вычитаем из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставляем тем же:
$\frac{x^2+9 - 6x}{x-3}$

3. Упорядочим слагаемые в числителе, чтобы получить стандартный вид квадратного трехчлена:
$\frac{x^2 - 6x + 9}{x-3}$

4. Заметим, что выражение в числителе является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

5. Подставим разложенный на множители числитель обратно в дробь и выполним сокращение (при условии, что $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$):
$\frac{(x-3)^2}{x-3} = x-3$

Таким образом, результатом вычитания является выражение $x-3$.

Ответ: Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений. Формула операции: $\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$.

68. Выполните действия:

1) $\frac{x}{6} + \frac{y}{6}$;

2) $\frac{a}{3} - \frac{b}{3}$;

3) $\frac{m}{n} + \frac{4m}{n}$;

4) $\frac{6c}{d} - \frac{2c}{d}$;

5) $\frac{m+n}{6} - \frac{m-2n}{6}$;

6) $\frac{2a-3b}{6ab} + \frac{9b-2a}{6ab}$;

7) $-\frac{5c+4d}{cd} + \frac{4d+9c}{cd}$;

8) $\frac{8m+3}{10m^2} - \frac{2m+3}{10m^2}$.

1) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{x}{6} + \frac{y}{6} = \frac{x+y}{6}$

Ответ: $\frac{x+y}{6}$

2) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{a}{3} - \frac{b}{3} = \frac{a-b}{3}$

Ответ: $\frac{a-b}{3}$

3) Складываем дроби с одинаковым знаменателем $n$.

$\frac{m}{n} + \frac{4m}{n} = \frac{m+4m}{n} = \frac{5m}{n}$

Ответ: $\frac{5m}{n}$

4) Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем $d$.

$\frac{6c}{d} - \frac{2c}{d} = \frac{6c-2c}{d} = \frac{4c}{d}$

Ответ: $\frac{4c}{d}$

5) Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем 6. При вычитании второго числителя важно правильно раскрыть скобки.

$\frac{m+n}{6} - \frac{m-2n}{6} = \frac{(m+n)-(m-2n)}{6} = \frac{m+n-m+2n}{6}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(m-m)+(n+2n)}{6} = \frac{3n}{6}$

Сокращаем дробь:

$\frac{3n}{6} = \frac{n}{2}$

Ответ: $\frac{n}{2}$

6) Складываем дроби с одинаковым знаменателем $6ab$.

$\frac{2a-3b}{6ab} + \frac{9b-2a}{6ab} = \frac{(2a-3b)+(9b-2a)}{6ab}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2a-2a)+(-3b+9b)}{6ab} = \frac{6b}{6ab}$

Сокращаем дробь на $6b$:

$\frac{6b}{6ab} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

7) Выполняем сложение дробей с одинаковым знаменателем $cd$. Обращаем внимание на знак минус перед первой дробью.

$-\frac{5c+4d}{cd} + \frac{4d+9c}{cd} = \frac{-(5c+4d)+(4d+9c)}{cd} = \frac{-5c-4d+4d+9c}{cd}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(-5c+9c)+(-4d+4d)}{cd} = \frac{4c}{cd}$

Сокращаем дробь на $c$:

$\frac{4c}{cd} = \frac{4}{d}$

Ответ: $\frac{4}{d}$

8) Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем $10m^2$.

$\frac{8m+3}{10m^2} - \frac{2m+3}{10m^2} = \frac{(8m+3)-(2m+3)}{10m^2}$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{8m+3-2m-3}{10m^2}$

Приводим подобные слагаемые:

$\frac{(8m-2m)+(3-3)}{10m^2} = \frac{6m}{10m^2}$

Сокращаем дробь. Коэффициенты 6 и 10 делим на 2, а переменные $m$ и $m^2$ сокращаем на $m$:

$\frac{6m}{10m^2} = \frac{3 \cdot 2 \cdot m}{5 \cdot 2 \cdot m \cdot m} = \frac{3}{5m}$

Ответ: $\frac{3}{5m}$

69. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{7k}{18p} - \frac{4k}{18p}$;

2) $\frac{a-b}{2b} - \frac{a}{2b}$;

3) $\frac{a-12b}{27a} + \frac{a+15b}{27a}$;

4) $\frac{x-7y}{xy} - \frac{x-4y}{xy}$;

5) $\frac{10a+6b}{11a^3} - \frac{6b-a}{11a^3}$;

6) $\frac{x^2-xy}{x^2y} + \frac{2xy-3x^2}{x^2y}$.

1) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $18p$. Чтобы найти их разность, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним:
$ \frac{7k}{18p} - \frac{4k}{18p} = \frac{7k - 4k}{18p} $
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые: $ 7k - 4k = 3k $.
Получаем дробь $ \frac{3k}{18p} $.
Теперь сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 3:
$ \frac{3k}{18p} = \frac{k}{6p} $.
Ответ: $ \frac{k}{6p} $.

2) Знаменатели дробей одинаковы и равны $2b$. Выполним вычитание числителей:
$ \frac{a - b}{2b} - \frac{a}{2b} = \frac{(a - b) - a}{2b} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $ a - b - a = -b $.
Получаем дробь $ \frac{-b}{2b} $.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $b$ (при условии, что $ b \neq 0 $):
$ \frac{-b}{2b} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

3) Знаменатели дробей одинаковы и равны $27a$. Чтобы сложить дроби, сложим их числители, а знаменатель оставим без изменений:
$ \frac{a - 12b}{27a} + \frac{a + 15b}{27a} = \frac{(a - 12b) + (a + 15b)}{27a} $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе: $ a - 12b + a + 15b = (a + a) + (-12b + 15b) = 2a + 3b $.
Получаем дробь $ \frac{2a + 3b}{27a} $.
Данную дробь сократить нельзя, так как у числителя и знаменателя нет общих множителей.
Ответ: $ \frac{2a + 3b}{27a} $.

4) Знаменатели дробей одинаковы и равны $xy$. Выполним вычитание числителей. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю:
$ \frac{x - 7y}{xy} - \frac{x - 4y}{xy} = \frac{(x - 7y) - (x - 4y)}{xy} $
Раскроем скобки в числителе, меняя знаки у слагаемых во второй скобке: $ x - 7y - x + 4y $.
Приведем подобные слагаемые: $ (x - x) + (-7y + 4y) = 0 - 3y = -3y $.
Получаем дробь $ \frac{-3y}{xy} $.
Сократим дробь на $y$ (при условии, что $ y \neq 0 $):
$ \frac{-3y}{xy} = -\frac{3}{x} $.
Ответ: $ -\frac{3}{x} $.

5) Знаменатели дробей одинаковы и равны $11a^3$. Выполним вычитание числителей:
$ \frac{10a + 6b}{11a^3} - \frac{6b - a}{11a^3} = \frac{(10a + 6b) - (6b - a)}{11a^3} $
Раскроем скобки в числителе, изменив знаки у вычитаемого: $ 10a + 6b - 6b + a $.
Приведем подобные слагаемые: $ (10a + a) + (6b - 6b) = 11a $.
Получаем дробь $ \frac{11a}{11a^3} $.
Сократим дробь на $11a$ (при условии, что $ a \neq 0 $):
$ \frac{11a}{11a^3} = \frac{11a}{11a \cdot a^2} = \frac{1}{a^2} $.
Ответ: $ \frac{1}{a^2} $.

6) Знаменатели дробей одинаковы и равны $x^2y$. Чтобы сложить дроби, сложим их числители:
$ \frac{x^2 - xy}{x^2y} + \frac{2xy - 3x^2}{x^2y} = \frac{(x^2 - xy) + (2xy - 3x^2)}{x^2y} $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе: $ x^2 - xy + 2xy - 3x^2 = (x^2 - 3x^2) + (-xy + 2xy) = -2x^2 + xy $.
Получаем дробь $ \frac{-2x^2 + xy}{x^2y} $.
Вынесем в числителе общий множитель $x$ за скобки: $ \frac{x(-2x + y)}{x^2y} = \frac{x(y - 2x)}{x^2y} $.
Сократим дробь на $x$ (при условии, что $ x \neq 0 $):
$ \frac{x(y - 2x)}{x \cdot x \cdot y} = \frac{y - 2x}{xy} $.
Ответ: $ \frac{y - 2x}{xy} $.

70. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2}{a+3} - \frac{9}{a+3}$;

2) $\frac{t}{t^2-16} - \frac{4}{t^2-16}$;

3) $\frac{m^2}{(m-5)^2} - \frac{25}{(m-5)^2}$;

4) $\frac{5x+9}{x^2-1} - \frac{4x+8}{x^2-1}$;

5) $\frac{b^2}{b+10} + \frac{20b+100}{b+10}$;

6) $\frac{c^2}{c-7} - \frac{14c-49}{c-7}$.

1) Дано выражение $\frac{a^2}{a+3} - \frac{9}{a+3}$.
Поскольку у обеих дробей одинаковый знаменатель $(a+3)$, мы можем выполнить вычитание их числителей:
$\frac{a^2 - 9}{a+3}$
Числитель $a^2 - 9$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a-3)(a+3)$
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(a-3)(a+3)}{a+3}$
Сократим общий множитель $(a+3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a+3 \neq 0$, то есть $a \neq -3$):
$a-3$
Ответ: $a-3$.

2) Дано выражение $\frac{t}{t^2-16} - \frac{4}{t^2-16}$.
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$\frac{t-4}{t^2-16}$
Знаменатель $t^2-16$ является разностью квадратов. Разложим его на множители:
$t^2 - 16 = t^2 - 4^2 = (t-4)(t+4)$
Подставим разложенный знаменатель в выражение:
$\frac{t-4}{(t-4)(t+4)}$
Сократим дробь на общий множитель $(t-4)$ (при условии, что $t-4 \neq 0$, то есть $t \neq 4$):
$\frac{1}{t+4}$
Ответ: $\frac{1}{t+4}$.

3) Дано выражение $\frac{m^2}{(m-5)^2} - \frac{25}{(m-5)^2}$.
Так как знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{m^2 - 25}{(m-5)^2}$
Числитель $m^2 - 25$ — это разность квадратов:
$m^2 - 25 = m^2 - 5^2 = (m-5)(m+5)$
Подставим результат в дробь:
$\frac{(m-5)(m+5)}{(m-5)^2}$
Сократим общий множитель $(m-5)$ (при условии, что $m-5 \neq 0$, то есть $m \neq 5$):
$\frac{m+5}{m-5}$
Ответ: $\frac{m+5}{m-5}$.

4) Дано выражение $\frac{5x+9}{x^2-1} - \frac{4x+8}{x^2-1}$.
Знаменатели дробей равны, поэтому вычитаем числители. Важно помнить, что вычитается всё второе выражение, поэтому его нужно взять в скобки:
$\frac{(5x+9) - (4x+8)}{x^2-1}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{5x+9-4x-8}{x^2-1}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{x+1}{x^2-1}$
Знаменатель $x^2-1$ является разностью квадратов:
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$
Сократим общий множитель $(x+1)$ (при условии, что $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$):
$\frac{1}{x-1}$
Ответ: $\frac{1}{x-1}$.

5) Дано выражение $\frac{b^2}{b+10} + \frac{20b+100}{b+10}$.
Складываем числители, так как знаменатели одинаковы:
$\frac{b^2 + 20b + 100}{b+10}$
Числитель $b^2 + 20b + 100$ является полным квадратом суммы. Проверим по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$b^2 + 2 \cdot b \cdot 10 + 10^2 = (b+10)^2$
Подставим свернутый квадрат в дробь:
$\frac{(b+10)^2}{b+10}$
Сократим дробь на $(b+10)$ (при условии, что $b+10 \neq 0$, то есть $b \neq -10$):
$b+10$
Ответ: $b+10$.

6) Дано выражение $\frac{c^2}{c-7} - \frac{14c-49}{c-7}$.
Выполним вычитание числителей, так как знаменатели одинаковы:
$\frac{c^2 - (14c-49)}{c-7}$
Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:
$\frac{c^2 - 14c + 49}{c-7}$
Числитель $c^2 - 14c + 49$ является полным квадратом разности. Проверим по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$c^2 - 2 \cdot c \cdot 7 + 7^2 = (c-7)^2$
Подставим свернутый квадрат в дробь:
$\frac{(c-7)^2}{c-7}$
Сократим дробь на $(c-7)$ (при условии, что $c-7 \neq 0$, то есть $c \neq 7$):
$c-7$
Ответ: $c-7$.

71. Упростите выражение:

1) $\frac{c^2}{c-9} - \frac{81}{c-9};$

2) $\frac{a^2}{(a-6)^2} - \frac{36}{(a-6)^2};$

3) $\frac{3x+5}{x^2-4} - \frac{2x+7}{x^2-4};$

4) $\frac{y^2}{y-2} - \frac{4y-4}{y-2}.$

1) Чтобы упростить выражение $\frac{c^2}{c - 9} - \frac{81}{c - 9}$, выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого вычтем их числители, а знаменатель оставим прежним:
$\frac{c^2 - 81}{c - 9}$
Числитель $c^2 - 81$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$c^2 - 81 = c^2 - 9^2 = (c - 9)(c + 9)$
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(c - 9)(c + 9)}{c - 9}$
Сократим дробь на общий множитель $(c - 9)$:
$c + 9$
Ответ: $c + 9$.

2) Дано выражение $\frac{a^2}{(a - 6)^2} - \frac{36}{(a - 6)^2}$. Так как знаменатели дробей одинаковы, объединим их в одну дробь:
$\frac{a^2 - 36}{(a - 6)^2}$
В числителе находится разность квадратов $a^2 - 36 = a^2 - 6^2$, которую раскладываем на множители:
$a^2 - 36 = (a - 6)(a + 6)$
Подставим это в нашу дробь:
$\frac{(a - 6)(a + 6)}{(a - 6)^2}$
Сократим общий множитель $(a - 6)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{a + 6}{a - 6}$
Ответ: $\frac{a + 6}{a - 6}$.

3) Упростим выражение $\frac{3x + 5}{x^2 - 4} - \frac{2x + 7}{x^2 - 4}$. Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$\frac{(3x + 5) - (2x + 7)}{x^2 - 4}$
Раскроем скобки в числителе, меняя знаки у второго выражения на противоположные:
$\frac{3x + 5 - 2x - 7}{x^2 - 4}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(3x - 2x) + (5 - 7)}{x^2 - 4} = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$
Знаменатель $x^2 - 4$ является разностью квадратов, разложим его на множители:
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)}$
Сократим дробь на $(x - 2)$:
$\frac{1}{x + 2}$
Ответ: $\frac{1}{x + 2}$.

4) Рассмотрим выражение $\frac{y^2}{y - 2} - \frac{4y - 4}{y - 2}$. Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{y^2 - (4y - 4)}{y - 2}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{y^2 - 4y + 4}{y - 2}$
Числитель $y^2 - 4y + 4$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$:
$y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y - 2)^2$
Подставим свернутый числитель в дробь:
$\frac{(y - 2)^2}{y - 2}$
Сократим дробь на общий множитель $(y - 2)$:
$y - 2$
Ответ: $y - 2$.

72. Выполните действия:

1) $\frac{a + b}{c - 7} + \frac{a}{7 - c};$

2) $\frac{5m}{m - n} + \frac{5n}{n - m};$

3) $\frac{2x - 4y}{x - 3y} - \frac{4x - 14y}{3y - x};$

4) $\frac{81b^2}{9b - a} + \frac{a^2}{a - 9b};$

5) $\frac{t^2}{3t - 6} + \frac{4}{6 - 3t};$

6) $\frac{y^2}{y - 1} - \frac{1 - 2y}{1 - y}.$

1) $\frac{a+b}{c-7} + \frac{a}{7-c}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $7-c$ можно представить как $-(c-7)$.

$\frac{a}{7-c} = \frac{a}{-(c-7)} = -\frac{a}{c-7}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{a+b}{c-7} - \frac{a}{c-7} = \frac{(a+b)-a}{c-7} = \frac{a+b-a}{c-7} = \frac{b}{c-7}$

Ответ: $\frac{b}{c-7}$

2) $\frac{5m}{m-n} + \frac{5n}{n-m}$

Приведем дроби к общему знаменателю $m-n$. Для этого во второй дроби вынесем минус из знаменателя:

$\frac{5n}{n-m} = \frac{5n}{-(m-n)} = -\frac{5n}{m-n}$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{5m}{m-n} - \frac{5n}{m-n} = \frac{5m-5n}{m-n}$

Вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки:

$\frac{5(m-n)}{m-n} = 5$

Ответ: $5$

3) $\frac{2x-4y}{x-3y} - \frac{4x-14y}{3y-x}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x-3y$. Знаменатель второй дроби $3y-x = -(x-3y)$.

$\frac{4x-14y}{3y-x} = \frac{4x-14y}{-(x-3y)} = -\frac{4x-14y}{x-3y}$

Подставим в исходное выражение. Обратите внимание, что минус перед дробью и минус, полученный при преобразовании знаменателя, дадут плюс:

$\frac{2x-4y}{x-3y} - (-\frac{4x-14y}{x-3y}) = \frac{2x-4y}{x-3y} + \frac{4x-14y}{x-3y} = \frac{2x-4y+4x-14y}{x-3y}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{6x-18y}{x-3y}$

Вынесем в числителе общий множитель 6 за скобки:

$\frac{6(x-3y)}{x-3y} = 6$

Ответ: $6$

4) $\frac{81b^2}{9b-a} + \frac{a^2}{a-9b}$

Приведем дроби к общему знаменателю $9b-a$. Знаменатель второй дроби $a-9b = -(9b-a)$.

$\frac{a^2}{a-9b} = \frac{a^2}{-(9b-a)} = -\frac{a^2}{9b-a}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{81b^2}{9b-a} - \frac{a^2}{9b-a} = \frac{81b^2 - a^2}{9b-a}$

Числитель представляет собой разность квадратов: $81b^2 - a^2 = (9b)^2 - a^2 = (9b-a)(9b+a)$.

$\frac{(9b-a)(9b+a)}{9b-a} = 9b+a$

Ответ: $9b+a$

5) $\frac{t^2}{3t-6} + \frac{4}{6-3t}$

Сначала вынесем общие множители в знаменателях:

$3t-6 = 3(t-2)$

$6-3t = 3(2-t) = -3(t-2)$

Приведем вторую дробь к знаменателю $3(t-2)$:

$\frac{4}{6-3t} = \frac{4}{-3(t-2)} = -\frac{4}{3(t-2)}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{t^2}{3(t-2)} - \frac{4}{3(t-2)} = \frac{t^2-4}{3(t-2)}$

Числитель является разностью квадратов: $t^2 - 4 = (t-2)(t+2)$.

$\frac{(t-2)(t+2)}{3(t-2)} = \frac{t+2}{3}$

Ответ: $\frac{t+2}{3}$

6) $\frac{y^2}{y-1} - \frac{1-2y}{1-y}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y-1$. Знаменатель второй дроби $1-y = -(y-1)$.

$\frac{1-2y}{1-y} = \frac{1-2y}{-(y-1)} = -\frac{1-2y}{y-1}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{y^2}{y-1} - (-\frac{1-2y}{y-1}) = \frac{y^2}{y-1} + \frac{1-2y}{y-1} = \frac{y^2+1-2y}{y-1}$

Переставим слагаемые в числителе, чтобы увидеть формулу квадрата разности:

$\frac{y^2-2y+1}{y-1} = \frac{(y-1)^2}{y-1}$

Сократим дробь:

$\frac{(y-1)(y-1)}{y-1} = y-1$

Ответ: $y-1$