Номер 69, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 69, страница 21.

Условие.

69. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{7k}{18p} - \frac{4k}{18p}$;

2) $\frac{a-b}{2b} - \frac{a}{2b}$;

3) $\frac{a-12b}{27a} + \frac{a+15b}{27a}$;

4) $\frac{x-7y}{xy} - \frac{x-4y}{xy}$;

5) $\frac{10a+6b}{11a^3} - \frac{6b-a}{11a^3}$;

6) $\frac{x^2-xy}{x^2y} + \frac{2xy-3x^2}{x^2y}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $18p$. Чтобы найти их разность, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним:
$ \frac{7k}{18p} - \frac{4k}{18p} = \frac{7k - 4k}{18p} $
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые: $ 7k - 4k = 3k $.
Получаем дробь $ \frac{3k}{18p} $.
Теперь сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 3:
$ \frac{3k}{18p} = \frac{k}{6p} $.
Ответ: $ \frac{k}{6p} $.

2) Знаменатели дробей одинаковы и равны $2b$. Выполним вычитание числителей:
$ \frac{a - b}{2b} - \frac{a}{2b} = \frac{(a - b) - a}{2b} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $ a - b - a = -b $.
Получаем дробь $ \frac{-b}{2b} $.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $b$ (при условии, что $ b \neq 0 $):
$ \frac{-b}{2b} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

3) Знаменатели дробей одинаковы и равны $27a$. Чтобы сложить дроби, сложим их числители, а знаменатель оставим без изменений:
$ \frac{a - 12b}{27a} + \frac{a + 15b}{27a} = \frac{(a - 12b) + (a + 15b)}{27a} $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе: $ a - 12b + a + 15b = (a + a) + (-12b + 15b) = 2a + 3b $.
Получаем дробь $ \frac{2a + 3b}{27a} $.
Данную дробь сократить нельзя, так как у числителя и знаменателя нет общих множителей.
Ответ: $ \frac{2a + 3b}{27a} $.

4) Знаменатели дробей одинаковы и равны $xy$. Выполним вычитание числителей. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю:
$ \frac{x - 7y}{xy} - \frac{x - 4y}{xy} = \frac{(x - 7y) - (x - 4y)}{xy} $
Раскроем скобки в числителе, меняя знаки у слагаемых во второй скобке: $ x - 7y - x + 4y $.
Приведем подобные слагаемые: $ (x - x) + (-7y + 4y) = 0 - 3y = -3y $.
Получаем дробь $ \frac{-3y}{xy} $.
Сократим дробь на $y$ (при условии, что $ y \neq 0 $):
$ \frac{-3y}{xy} = -\frac{3}{x} $.
Ответ: $ -\frac{3}{x} $.

5) Знаменатели дробей одинаковы и равны $11a^3$. Выполним вычитание числителей:
$ \frac{10a + 6b}{11a^3} - \frac{6b - a}{11a^3} = \frac{(10a + 6b) - (6b - a)}{11a^3} $
Раскроем скобки в числителе, изменив знаки у вычитаемого: $ 10a + 6b - 6b + a $.
Приведем подобные слагаемые: $ (10a + a) + (6b - 6b) = 11a $.
Получаем дробь $ \frac{11a}{11a^3} $.
Сократим дробь на $11a$ (при условии, что $ a \neq 0 $):
$ \frac{11a}{11a^3} = \frac{11a}{11a \cdot a^2} = \frac{1}{a^2} $.
Ответ: $ \frac{1}{a^2} $.

6) Знаменатели дробей одинаковы и равны $x^2y$. Чтобы сложить дроби, сложим их числители:
$ \frac{x^2 - xy}{x^2y} + \frac{2xy - 3x^2}{x^2y} = \frac{(x^2 - xy) + (2xy - 3x^2)}{x^2y} $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе: $ x^2 - xy + 2xy - 3x^2 = (x^2 - 3x^2) + (-xy + 2xy) = -2x^2 + xy $.
Получаем дробь $ \frac{-2x^2 + xy}{x^2y} $.
Вынесем в числителе общий множитель $x$ за скобки: $ \frac{x(-2x + y)}{x^2y} = \frac{x(y - 2x)}{x^2y} $.
Сократим дробь на $x$ (при условии, что $ x \neq 0 $):
$ \frac{x(y - 2x)}{x \cdot x \cdot y} = \frac{y - 2x}{xy} $.
Ответ: $ \frac{y - 2x}{xy} $.