Номер 76, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 76, страница 22.

Условие.

76. Упростите выражение:

1) $\frac{5n-1}{20n} - \frac{7n-8}{20n} - \frac{8n+7}{20n}$

2) $\frac{9m+2}{m^2-4} - \frac{m-9}{4-m^2} + \frac{1-7m}{m^2-4}$

3) $\frac{3k}{k^3-1} + \frac{4k+1}{1-k^3} + \frac{k^2}{1-k^3}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{5n - 1}{20n} - \frac{7n - 8}{20n} - \frac{8n + 7}{20n}$

Поскольку все дроби имеют общий знаменатель $20n$, мы можем объединить их числители, выполнив соответствующие действия вычитания. Важно правильно раскрыть скобки, учитывая знаки "минус" перед дробями.

$\frac{(5n - 1) - (7n - 8) - (8n + 7)}{20n}$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{5n - 1 - 7n + 8 - 8n - 7}{20n}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

Для слагаемых с переменной $n$: $5n - 7n - 8n = -10n$

Для констант: $-1 + 8 - 7 = 0$

В результате числитель равен $-10n$. Подставляем его обратно в дробь:

$\frac{-10n}{20n}$

Сокращаем дробь на общий множитель $10n$ (при условии, что $n \neq 0$):

$\frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) $\frac{9m + 2}{m^2 - 4} - \frac{m - 9}{4 - m^2} + \frac{1 - 7m}{m^2 - 4}$

Чтобы выполнить действия с дробями, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $4 - m^2$ можно представить как $-(m^2 - 4)$. Используем это свойство, чтобы изменить знак перед дробью и знак знаменателя:

$\frac{9m + 2}{m^2 - 4} - \frac{m - 9}{-(m^2 - 4)} + \frac{1 - 7m}{m^2 - 4} = \frac{9m + 2}{m^2 - 4} + \frac{m - 9}{m^2 - 4} + \frac{1 - 7m}{m^2 - 4}$

Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель $m^2 - 4$, сложим их числители:

$\frac{(9m + 2) + (m - 9) + (1 - 7m)}{m^2 - 4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

Для слагаемых с переменной $m$: $9m + m - 7m = 3m$

Для констант: $2 - 9 + 1 = -6$

Получаем выражение:

$\frac{3m - 6}{m^2 - 4}$

Для дальнейшего упрощения разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем общий множитель 3. Знаменатель является разностью квадратов $m^2 - 2^2$.

$\frac{3(m - 2)}{(m - 2)(m + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m - 2)$ (при условии, что $m \neq 2$):

$\frac{3}{m + 2}$

Ответ: $\frac{3}{m + 2}$

3) $\frac{3k}{k^3 - 1} + \frac{4k + 1}{1 - k^3} + \frac{k^2}{1 - k^3}$

Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $1 - k^3 = -(k^3 - 1)$. Используем это, изменив знаки перед второй и третьей дробями и их знаменателями:

$\frac{3k}{k^3 - 1} - \frac{4k + 1}{k^3 - 1} - \frac{k^2}{k^3 - 1}$

Теперь объединим числители под общим знаменателем $k^3 - 1$:

$\frac{3k - (4k + 1) - k^2}{k^3 - 1}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3k - 4k - 1 - k^2}{k^3 - 1}$

Приведем подобные слагаемые и упорядочим члены в числителе по убыванию степеней:

$\frac{-k^2 - k - 1}{k^3 - 1}$

Вынесем $-1$ за скобку в числителе:

$\frac{-(k^2 + k + 1)}{k^3 - 1}$

Разложим знаменатель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$k^3 - 1 = (k - 1)(k^2 + k \cdot 1 + 1^2) = (k - 1)(k^2 + k + 1)$

Подставим разложенный знаменатель в выражение:

$\frac{-(k^2 + k + 1)}{(k - 1)(k^2 + k + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(k^2 + k + 1)$ (при условии, что $k \neq 1$):

$\frac{-1}{k - 1}$

Ответ: $\frac{-1}{k - 1}$