Номер 81, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 81, страница 22.

Условие.

81. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной x значение выражения $\frac{12x - 25}{20x - 15} + \frac{8x + 10}{20x - 15}$ не зависит от значения x.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить.

Данное выражение: $ \frac{12x - 25}{20x - 15} + \frac{8x + 10}{20x - 15} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

$ 20x - 15 \neq 0 $

$ 20x \neq 15 $

$ x \neq \frac{15}{20} $

$ x \neq \frac{3}{4} $

Таким образом, выражение определено для всех значений $x$, кроме $x = \frac{3}{4}$.

Теперь выполним сложение дробей. Поскольку у них одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители, оставив знаменатель без изменений.

$ \frac{12x - 25}{20x - 15} + \frac{8x + 10}{20x - 15} = \frac{(12x - 25) + (8x + 10)}{20x - 15} $

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$ (12x - 25) + (8x + 10) = 12x + 8x - 25 + 10 = 20x - 15 $

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$ \frac{20x - 15}{20x - 15} $

При всех допустимых значениях $x$ (т.е. при $x \neq \frac{3}{4}$), числитель и знаменатель этой дроби равны и не равны нулю. Деление любого ненулевого числа на само себя равно 1.

$ \frac{20x - 15}{20x - 15} = 1 $

Мы получили в результате число 1, которое является константой и не содержит переменную $x$. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от значения $x$ при всех допустимых его значениях.

Ответ: Поскольку при всех допустимых значениях $x$ выражение равно 1, доказано, что его значение не зависит от переменной $x$.