Номер 80, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 80, страница 22.
№80 (с. 22)
Условие. №80 (с. 22)
скриншот условия

80. Докажите тождество:
1) $\frac{(a+b)^2}{4ab} - \frac{(a-b)^2}{4ab} = 1;$
2) $\frac{(a+b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2} = 2.$
Решение 1. №80 (с. 22)


Решение 2. №80 (с. 22)

Решение 3. №80 (с. 22)

Решение 4. №80 (с. 22)

Решение 5. №80 (с. 22)

Решение 6. №80 (с. 22)

Решение 7. №80 (с. 22)

Решение 8. №80 (с. 22)
1)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Область допустимых значений этого выражения определяется условием $4ab \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним вычитание числителей:
$ \frac{(a+b)^2}{4ab} - \frac{(a-b)^2}{4ab} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4ab} $
Числитель представляет собой разность квадратов. Применим формулу сокращенного умножения $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+b$ и $y = a-b$:
$ (a+b)^2 - (a-b)^2 = ((a+b) - (a-b)) \cdot ((a+b) + (a-b)) $
Упростим выражения в скобках, раскрыв внутренние скобки:
$ (a+b-a+b) \cdot (a+b+a-b) = (2b) \cdot (2a) = 4ab $
Подставим полученный результат обратно в числитель дроби:
$ \frac{4ab}{4ab} = 1 $
Мы получили, что левая часть тождества равна 1, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
2)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Область допустимых значений определяется условием $a^2+b^2 \neq 0$, что означает, что $a$ и $b$ не могут быть равны нулю одновременно.
Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:
$ \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2} $
Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:
$ (a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2 = (a^2+a^2) + (b^2+b^2) + (2ab-2ab) = 2a^2+2b^2 $
Подставим полученное выражение в дробь и вынесем общий множитель 2 за скобки:
$ \frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} $
Сократим дробь на общий множитель $(a^2+b^2)$:
$ \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = 2 $
Мы получили, что левая часть тождества равна 2, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 80 расположенного на странице 22 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №80 (с. 22), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.