Номер 80, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 80, страница 22.

Условие.

80. Докажите тождество:

1) $\frac{(a+b)^2}{4ab} - \frac{(a-b)^2}{4ab} = 1;$

2) $\frac{(a+b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2} = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Область допустимых значений этого выражения определяется условием $4ab \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним вычитание числителей:

$ \frac{(a+b)^2}{4ab} - \frac{(a-b)^2}{4ab} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4ab} $

Числитель представляет собой разность квадратов. Применим формулу сокращенного умножения $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+b$ и $y = a-b$:

$ (a+b)^2 - (a-b)^2 = ((a+b) - (a-b)) \cdot ((a+b) + (a-b)) $

Упростим выражения в скобках, раскрыв внутренние скобки:

$ (a+b-a+b) \cdot (a+b+a-b) = (2b) \cdot (2a) = 4ab $

Подставим полученный результат обратно в числитель дроби:

$ \frac{4ab}{4ab} = 1 $

Мы получили, что левая часть тождества равна 1, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Область допустимых значений определяется условием $a^2+b^2 \neq 0$, что означает, что $a$ и $b$ не могут быть равны нулю одновременно.
Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$ \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$ (a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2 = (a^2+a^2) + (b^2+b^2) + (2ab-2ab) = 2a^2+2b^2 $

Подставим полученное выражение в дробь и вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ \frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} $

Сократим дробь на общий множитель $(a^2+b^2)$:

$ \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = 2 $

Мы получили, что левая часть тождества равна 2, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.