Номер 82, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 82, страница 22.

Условие.

82. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $y$ значение выражения $\frac{17y+5}{21y-3} - \frac{9-11y}{21y-3}$ не зависит от значения $y$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной y, необходимо это выражение упростить. Если в результате упрощения переменная y сократится и останется только числовое значение, то утверждение будет доказано.

Данное выражение: $ \frac{17y+5}{21y-3} - \frac{9-11y}{21y-3} $.

В первую очередь найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной y. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $ 21y - 3 \neq 0 $ $ 21y \neq 3 $ $ y \neq \frac{3}{21} $ $ y \neq \frac{1}{7} $ Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях y, кроме $y = \frac{1}{7}$.

Теперь выполним упрощение выражения. Поскольку у обеих дробей одинаковый знаменатель, мы можем объединить их в одну дробь, вычитая числители: $ \frac{17y+5}{21y-3} - \frac{9-11y}{21y-3} = \frac{(17y+5) - (9-11y)}{21y-3} $

Раскроем скобки в числителе. Обратим внимание, что знак "минус" перед второй дробью меняет знаки каждого слагаемого в ее числителе на противоположные: $ \frac{17y+5 - 9 + 11y}{21y-3} $

Приведем подобные слагаемые в числителе: $ \frac{(17y+11y) + (5-9)}{21y-3} = \frac{28y - 4}{21y-3} $

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе, чтобы попытаться сократить дробь: В числителе: $ 28y - 4 = 4(7y - 1) $ В знаменателе: $ 21y - 3 = 3(7y - 1) $

Подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь: $ \frac{4(7y - 1)}{3(7y - 1)} $

Теперь можно сократить общий множитель $ (7y - 1) $. Это действие корректно, так как в области допустимых значений $ y \neq \frac{1}{7} $, что гарантирует, что $ 7y - 1 \neq 0 $. $ \frac{4\cancel{(7y - 1)}}{3\cancel{(7y - 1)}} = \frac{4}{3} $

В результате упрощения мы получили константу $ \frac{4}{3} $, которая не содержит переменную y. Это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от значения y при всех допустимых значениях.

Ответ: Значение выражения равно $ \frac{4}{3} $ при всех допустимых y и не зависит от y.