Номер 75, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 75, страница 22.

Условие.

75. Найдите значение выражения:

1) $\frac{5x + 3}{x^2 - 16} + \frac{6x - 1}{16 - x^2}$ при $x = -4,1$;

2) $\frac{a^2 + a}{a^2 - 9} - \frac{7a - 9}{a^2 - 9}$ при $a = 7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сначала упростим данное выражение. Заметим, что знаменатели дробей $x^2 - 16$ и $16 - x^2$ являются противоположными выражениями, так как $16 - x^2 = -(x^2 - 16)$. Это позволяет привести дроби к общему знаменателю.

$\frac{5x + 3}{x^2 - 16} + \frac{6x - 1}{16 - x^2} = \frac{5x + 3}{x^2 - 16} - \frac{6x - 1}{x^2 - 16}$

Так как знаменатели теперь одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(5x + 3) - (6x - 1)}{x^2 - 16} = \frac{5x + 3 - 6x + 1}{x^2 - 16} = \frac{4 - x}{x^2 - 16}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесем в числителе $-1$ за скобки:

$\frac{-(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x - 4)$, что возможно, так как по условию $x = -4,1$, а значит $x \neq 4$.

$\frac{-1}{x + 4}$

Теперь подставим значение $x = -4,1$ в упрощенное выражение:

$\frac{-1}{-4,1 + 4} = \frac{-1}{-0,1} = 10$

Ответ: 10.

2) В данном выражении дроби уже имеют одинаковый знаменатель $a^2 - 9$. Выполним вычитание дробей, вычитая их числители:

$\frac{a^2 + a}{a^2 - 9} - \frac{7a - 9}{a^2 - 9} = \frac{(a^2 + a) - (7a - 9)}{a^2 - 9}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2 + a - 7a + 9}{a^2 - 9} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 - 9}$

Теперь упростим полученную дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а знаменатель — разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{(a - 3)^2}{(a - 3)(a + 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - 3)$, что возможно, так как по условию $a = 7$, а значит $a \neq 3$.

$\frac{a - 3}{a + 3}$

Подставим значение $a = 7$ в упрощенное выражение:

$\frac{7 - 3}{7 + 3} = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: 0,4.