Номер 70, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 70, страница 21.

Условие.

70. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2}{a+3} - \frac{9}{a+3}$;

2) $\frac{t}{t^2-16} - \frac{4}{t^2-16}$;

3) $\frac{m^2}{(m-5)^2} - \frac{25}{(m-5)^2}$;

4) $\frac{5x+9}{x^2-1} - \frac{4x+8}{x^2-1}$;

5) $\frac{b^2}{b+10} + \frac{20b+100}{b+10}$;

6) $\frac{c^2}{c-7} - \frac{14c-49}{c-7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано выражение $\frac{a^2}{a+3} - \frac{9}{a+3}$.
Поскольку у обеих дробей одинаковый знаменатель $(a+3)$, мы можем выполнить вычитание их числителей:
$\frac{a^2 - 9}{a+3}$
Числитель $a^2 - 9$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a-3)(a+3)$
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(a-3)(a+3)}{a+3}$
Сократим общий множитель $(a+3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a+3 \neq 0$, то есть $a \neq -3$):
$a-3$
Ответ: $a-3$.

2) Дано выражение $\frac{t}{t^2-16} - \frac{4}{t^2-16}$.
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$\frac{t-4}{t^2-16}$
Знаменатель $t^2-16$ является разностью квадратов. Разложим его на множители:
$t^2 - 16 = t^2 - 4^2 = (t-4)(t+4)$
Подставим разложенный знаменатель в выражение:
$\frac{t-4}{(t-4)(t+4)}$
Сократим дробь на общий множитель $(t-4)$ (при условии, что $t-4 \neq 0$, то есть $t \neq 4$):
$\frac{1}{t+4}$
Ответ: $\frac{1}{t+4}$.

3) Дано выражение $\frac{m^2}{(m-5)^2} - \frac{25}{(m-5)^2}$.
Так как знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{m^2 - 25}{(m-5)^2}$
Числитель $m^2 - 25$ — это разность квадратов:
$m^2 - 25 = m^2 - 5^2 = (m-5)(m+5)$
Подставим результат в дробь:
$\frac{(m-5)(m+5)}{(m-5)^2}$
Сократим общий множитель $(m-5)$ (при условии, что $m-5 \neq 0$, то есть $m \neq 5$):
$\frac{m+5}{m-5}$
Ответ: $\frac{m+5}{m-5}$.

4) Дано выражение $\frac{5x+9}{x^2-1} - \frac{4x+8}{x^2-1}$.
Знаменатели дробей равны, поэтому вычитаем числители. Важно помнить, что вычитается всё второе выражение, поэтому его нужно взять в скобки:
$\frac{(5x+9) - (4x+8)}{x^2-1}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{5x+9-4x-8}{x^2-1}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{x+1}{x^2-1}$
Знаменатель $x^2-1$ является разностью квадратов:
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$
Сократим общий множитель $(x+1)$ (при условии, что $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$):
$\frac{1}{x-1}$
Ответ: $\frac{1}{x-1}$.

5) Дано выражение $\frac{b^2}{b+10} + \frac{20b+100}{b+10}$.
Складываем числители, так как знаменатели одинаковы:
$\frac{b^2 + 20b + 100}{b+10}$
Числитель $b^2 + 20b + 100$ является полным квадратом суммы. Проверим по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$b^2 + 2 \cdot b \cdot 10 + 10^2 = (b+10)^2$
Подставим свернутый квадрат в дробь:
$\frac{(b+10)^2}{b+10}$
Сократим дробь на $(b+10)$ (при условии, что $b+10 \neq 0$, то есть $b \neq -10$):
$b+10$
Ответ: $b+10$.

6) Дано выражение $\frac{c^2}{c-7} - \frac{14c-49}{c-7}$.
Выполним вычитание числителей, так как знаменатели одинаковы:
$\frac{c^2 - (14c-49)}{c-7}$
Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:
$\frac{c^2 - 14c + 49}{c-7}$
Числитель $c^2 - 14c + 49$ является полным квадратом разности. Проверим по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$c^2 - 2 \cdot c \cdot 7 + 7^2 = (c-7)^2$
Подставим свернутый квадрат в дробь:
$\frac{(c-7)^2}{c-7}$
Сократим дробь на $(c-7)$ (при условии, что $c-7 \neq 0$, то есть $c \neq 7$):
$c-7$
Ответ: $c-7$.