Номер 67, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 67, страница 19.

Условие.

67. На сторонах квадрата записаны четыре натуральных числа. В каждой вершине квадрата записано число, равное произведению чисел, записанных на сторонах, для которых эта вершина является общей. Сумма чисел, записанных в вершинах, равна 55. Найдите сумму чисел, записанных на сторонах квадрата.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть на сторонах квадрата последовательно (например, по часовой стрелке) записаны четыре натуральных числа: $a, b, c, d$.

Согласно условию, в каждой вершине квадрата записано число, равное произведению чисел на сторонах, для которых эта вершина является общей. Таким образом, в четырех вершинах будут записаны числа: $ab, bc, cd, da$.

Сумма чисел, записанных в вершинах, равна 55. Составим уравнение:

$ab + bc + cd + da = 55$

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения, чтобы разложить ее на множители:

$(ab + bc) + (cd + da) = 55$

$b(a + c) + d(c + a) = 55$

Вынесем общий множитель $(a+c)$ за скобки:

$(a + c)(b + d) = 55$

По условию задачи, $a, b, c$ и $d$ — натуральные числа, то есть целые положительные числа ($1, 2, 3, \dots$). Следовательно, их суммы $(a+c)$ и $(b+d)$ также являются целыми числами. Поскольку наименьшее натуральное число — это 1, то минимальное значение для каждой из этих сумм равно $1+1=2$. Таким образом, мы имеем условия:

$a+c \ge 2$

$b+d \ge 2$

Теперь нам нужно разложить число 55 на два целых множителя, каждый из которых не меньше 2. Разложим 55 на все возможные пары целых положительных множителей: $55 = 1 \cdot 55 = 5 \cdot 11$.

Пара множителей (1, 55) не удовлетворяет нашим условиям, так как один из множителей (1) меньше 2. Единственной подходящей парой является (5, 11).

Это означает, что множители $(a+c)$ и $(b+d)$ равны 5 и 11. Возможны два случая:

1. $a+c=5$ и $b+d=11$

2. $a+c=11$ и $b+d=5$

В задаче требуется найти сумму чисел, записанных на сторонах квадрата, то есть величину $S = a+b+c+d$.

Перегруппировав слагаемые, получаем: $S = (a+c) + (b+d)$.

Вне зависимости от того, какой из случаев реализуется, сумма $(a+c) + (b+d)$ будет одинаковой:

$S = 5 + 11 = 16$

Таким образом, искомая сумма чисел, записанных на сторонах квадрата, равна 16.

Ответ: 16