Номер 1, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Вопросы - номер 1, страница 21.

Условие.

1. Как сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями?

Решение 2.

Решение 8.

1. Как сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями?

Чтобы сложить две или более рациональные дроби, у которых одинаковые знаменатели, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сложить их числители.
2. Записать полученную сумму в числитель новой дроби.
3. Знаменатель оставить без изменений.

Это правило можно выразить с помощью формулы. Пусть у нас есть две дроби $\frac{A}{C}$ и $\frac{B}{C}$, где $A$, $B$ и $C$ — это многочлены, и $C$ не равно нулю ($C \neq 0$). Их сумма вычисляется так:

$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$

После сложения числителей, если возможно, следует упростить полученную дробь. Упрощение заключается в разложении числителя и знаменателя на множители и сокращении общих множителей.

Пример 1: Простое сложение

Сложим дроби $\frac{7x}{y}$ и $\frac{2x}{y}$.
Решение: Знаменатели одинаковы ($y$), поэтому складываем числители:
$\frac{7x}{y} + \frac{2x}{y} = \frac{7x + 2x}{y} = \frac{9x}{y}$

Пример 2: Сложение с последующим упрощением

Сложим дроби $\frac{a^2}{a+5}$ и $\frac{5a}{a+5}$.
Решение: Складываем числители, так как знаменатели ($a+5$) одинаковы:
$\frac{a^2}{a+5} + \frac{5a}{a+5} = \frac{a^2 + 5a}{a+5}$
Теперь упростим результат. Вынесем общий множитель $a$ в числителе:
$\frac{a(a+5)}{a+5}$
Сократим общий множитель $(a+5)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{a\cancel{(a+5)}}{\cancel{a+5}} = a$
(При условии, что $a+5 \neq 0$, то есть $a \neq -5$).

Пример 3: Сложение дробей с противоположными знаменателями

Найти сумму $\frac{m^2-m}{m-n} + \frac{n^2-n}{n-m}$.
Решение: Сначала заметим, что знаменатели почти одинаковы: $m-n$ и $n-m$. Мы знаем, что $n-m = -(m-n)$. Преобразуем вторую дробь, чтобы знаменатели стали одинаковыми, вынеся минус за знак дроби:
$\frac{n^2-n}{n-m} = \frac{n^2-n}{-(m-n)} = -\frac{n^2-n}{m-n}$
Теперь исходное выражение можно переписать как вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{m^2-m}{m-n} - \frac{n^2-n}{m-n}$
Выполняем вычитание числителей:
$\frac{(m^2-m) - (n^2-n)}{m-n} = \frac{m^2-m-n^2+n}{m-n}$
Сгруппируем слагаемые в числителе и разложим на множители, используя формулу разности квадратов ($m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$):
$\frac{(m^2-n^2) - (m-n)}{m-n} = \frac{(m-n)(m+n) - 1 \cdot (m-n)}{m-n}$
Вынесем общий множитель $(m-n)$ за скобки:
$\frac{(m-n)(m+n-1)}{m-n}$
Сокращаем на $(m-n)$:
$m+n-1$

Ответ: Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. Полученное выражение следует по возможности упростить (сократить). Формула сложения: $\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$.