Номер 72, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 72, страница 21.

Условие.

72. Выполните действия:

1) $\frac{a + b}{c - 7} + \frac{a}{7 - c};$

2) $\frac{5m}{m - n} + \frac{5n}{n - m};$

3) $\frac{2x - 4y}{x - 3y} - \frac{4x - 14y}{3y - x};$

4) $\frac{81b^2}{9b - a} + \frac{a^2}{a - 9b};$

5) $\frac{t^2}{3t - 6} + \frac{4}{6 - 3t};$

6) $\frac{y^2}{y - 1} - \frac{1 - 2y}{1 - y}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{a+b}{c-7} + \frac{a}{7-c}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $7-c$ можно представить как $-(c-7)$.

$\frac{a}{7-c} = \frac{a}{-(c-7)} = -\frac{a}{c-7}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{a+b}{c-7} - \frac{a}{c-7} = \frac{(a+b)-a}{c-7} = \frac{a+b-a}{c-7} = \frac{b}{c-7}$

Ответ: $\frac{b}{c-7}$

2) $\frac{5m}{m-n} + \frac{5n}{n-m}$

Приведем дроби к общему знаменателю $m-n$. Для этого во второй дроби вынесем минус из знаменателя:

$\frac{5n}{n-m} = \frac{5n}{-(m-n)} = -\frac{5n}{m-n}$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{5m}{m-n} - \frac{5n}{m-n} = \frac{5m-5n}{m-n}$

Вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки:

$\frac{5(m-n)}{m-n} = 5$

Ответ: $5$

3) $\frac{2x-4y}{x-3y} - \frac{4x-14y}{3y-x}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x-3y$. Знаменатель второй дроби $3y-x = -(x-3y)$.

$\frac{4x-14y}{3y-x} = \frac{4x-14y}{-(x-3y)} = -\frac{4x-14y}{x-3y}$

Подставим в исходное выражение. Обратите внимание, что минус перед дробью и минус, полученный при преобразовании знаменателя, дадут плюс:

$\frac{2x-4y}{x-3y} - (-\frac{4x-14y}{x-3y}) = \frac{2x-4y}{x-3y} + \frac{4x-14y}{x-3y} = \frac{2x-4y+4x-14y}{x-3y}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{6x-18y}{x-3y}$

Вынесем в числителе общий множитель 6 за скобки:

$\frac{6(x-3y)}{x-3y} = 6$

Ответ: $6$

4) $\frac{81b^2}{9b-a} + \frac{a^2}{a-9b}$

Приведем дроби к общему знаменателю $9b-a$. Знаменатель второй дроби $a-9b = -(9b-a)$.

$\frac{a^2}{a-9b} = \frac{a^2}{-(9b-a)} = -\frac{a^2}{9b-a}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{81b^2}{9b-a} - \frac{a^2}{9b-a} = \frac{81b^2 - a^2}{9b-a}$

Числитель представляет собой разность квадратов: $81b^2 - a^2 = (9b)^2 - a^2 = (9b-a)(9b+a)$.

$\frac{(9b-a)(9b+a)}{9b-a} = 9b+a$

Ответ: $9b+a$

5) $\frac{t^2}{3t-6} + \frac{4}{6-3t}$

Сначала вынесем общие множители в знаменателях:

$3t-6 = 3(t-2)$

$6-3t = 3(2-t) = -3(t-2)$

Приведем вторую дробь к знаменателю $3(t-2)$:

$\frac{4}{6-3t} = \frac{4}{-3(t-2)} = -\frac{4}{3(t-2)}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{t^2}{3(t-2)} - \frac{4}{3(t-2)} = \frac{t^2-4}{3(t-2)}$

Числитель является разностью квадратов: $t^2 - 4 = (t-2)(t+2)$.

$\frac{(t-2)(t+2)}{3(t-2)} = \frac{t+2}{3}$

Ответ: $\frac{t+2}{3}$

6) $\frac{y^2}{y-1} - \frac{1-2y}{1-y}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y-1$. Знаменатель второй дроби $1-y = -(y-1)$.

$\frac{1-2y}{1-y} = \frac{1-2y}{-(y-1)} = -\frac{1-2y}{y-1}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{y^2}{y-1} - (-\frac{1-2y}{y-1}) = \frac{y^2}{y-1} + \frac{1-2y}{y-1} = \frac{y^2+1-2y}{y-1}$

Переставим слагаемые в числителе, чтобы увидеть формулу квадрата разности:

$\frac{y^2-2y+1}{y-1} = \frac{(y-1)^2}{y-1}$

Сократим дробь:

$\frac{(y-1)(y-1)}{y-1} = y-1$

Ответ: $y-1$