Номер 74, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 74, страница 22.

Условие.

74. Найдите значение выражения:

1) $\frac{a^2 - 48}{a - 8} - \frac{16}{a - 8}$ при $a = 32;$

2) $\frac{c^2 + 3c + 7}{c^3 - 8} + \frac{c + 3}{8 - c^3}$ при $c = -3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сначала упростим выражение. Так как у дробей одинаковый знаменатель, можем выполнить вычитание числителей:

$\frac{a^2 - 48}{a - 8} - \frac{16}{a - 8} = \frac{a^2 - 48 - 16}{a - 8} = \frac{a^2 - 64}{a - 8}$

Числитель $a^2 - 64$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^2 - 64 = a^2 - 8^2 = (a - 8)(a + 8)$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим ее:

$\frac{(a - 8)(a + 8)}{a - 8} = a + 8$

Теперь подставим значение $a = 32$ в упрощенное выражение:

$32 + 8 = 40$

Ответ: 40

2) Сначала упростим выражение. Заметим, что знаменатели дробей являются противоположными числами: $8 - c^3 = -(c^3 - 8)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя в знак перед дробью, чтобы привести дроби к общему знаменателю:

$\frac{c^2 + 3c + 7}{c^3 - 8} + \frac{c + 3}{8 - c^3} = \frac{c^2 + 3c + 7}{c^3 - 8} - \frac{c + 3}{c^3 - 8}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(c^2 + 3c + 7) - (c + 3)}{c^3 - 8} = \frac{c^2 + 3c + 7 - c - 3}{c^3 - 8} = \frac{c^2 + 2c + 4}{c^3 - 8}$

Знаменатель $c^3 - 8$ является разностью кубов. Разложим его по формуле $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$c^3 - 8 = c^3 - 2^3 = (c - 2)(c^2 + 2c + 4)$

Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь и сократим на общий множитель $(c^2 + 2c + 4)$:

$\frac{c^2 + 2c + 4}{(c - 2)(c^2 + 2c + 4)} = \frac{1}{c - 2}$

Теперь подставим значение $c = -3$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{-3 - 2} = \frac{1}{-5} = -0.2$

Ответ: -0,2