Страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

73. Упростите выражение:

1) $ \frac{x}{y-1} + \frac{2}{1-y}; $

2) $ \frac{3c}{c-d} + \frac{3d}{d-c}; $

3) $ \frac{3m+2n}{2m-3n} - \frac{m-8n}{3n-2m}; $

4) $ \frac{b^2}{2b-14} + \frac{49}{14-2b}. $

1) Чтобы упростить выражение $\frac{x}{y-1} + \frac{2}{1-y}$, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби, $1-y$, можно представить как $-(y-1)$.

Преобразуем вторую дробь: $\frac{2}{1-y} = \frac{2}{-(y-1)} = -\frac{2}{y-1}$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{x}{y-1} - \frac{2}{y-1}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{x-2}{y-1}$

Ответ: $\frac{x-2}{y-1}$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{3c}{c-d} + \frac{3d}{d-c}$. Знаменатели $c-d$ и $d-c$ являются противоположными выражениями, так как $d-c = -(c-d)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $c-d$. Для этого изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе:

$\frac{3c}{c-d} + \frac{3d}{-(c-d)} = \frac{3c}{c-d} - \frac{3d}{c-d}$

Теперь вычтем числители, оставив знаменатель прежним:

$\frac{3c-3d}{c-d}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$\frac{3(c-d)}{c-d}$

Сократим дробь на общий множитель $(c-d)$:

$3$

Ответ: $3$.

3) Упростим выражение $\frac{3m+2n}{2m-3n} - \frac{m-8n}{3n-2m}$. Знаменатель второй дроби $3n-2m$ можно представить как $-(2m-3n)$.

Преобразуем выражение, изменив знак перед второй дробью и в ее знаменателе. Это позволит нам получить общий знаменатель $2m-3n$:

$\frac{3m+2n}{2m-3n} - \frac{m-8n}{-(2m-3n)} = \frac{3m+2n}{2m-3n} + \frac{m-8n}{2m-3n}$

Сложим числители дробей:

$\frac{(3m+2n) + (m-8n)}{2m-3n} = \frac{3m+m+2n-8n}{2m-3n} = \frac{4m-6n}{2m-3n}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(2m-3n)}{2m-3n}$

Сократим дробь на $(2m-3n)$:

$2$

Ответ: $2$.

4) Упростим выражение $\frac{b^2}{2b-14} + \frac{49}{14-2b}$. Знаменатели $2b-14$ и $14-2b$ являются противоположными: $14-2b = -(2b-14)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2b-14$:

$\frac{b^2}{2b-14} + \frac{49}{-(2b-14)} = \frac{b^2}{2b-14} - \frac{49}{2b-14}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{b^2-49}{2b-14}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-k^2=(a-k)(a+k)$, а в знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\frac{(b-7)(b+7)}{2(b-7)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b-7)$:

$\frac{b+7}{2}$

Ответ: $\frac{b+7}{2}$.

74. Найдите значение выражения:

1) $\frac{a^2 - 48}{a - 8} - \frac{16}{a - 8}$ при $a = 32;$

2) $\frac{c^2 + 3c + 7}{c^3 - 8} + \frac{c + 3}{8 - c^3}$ при $c = -3.$

1) Сначала упростим выражение. Так как у дробей одинаковый знаменатель, можем выполнить вычитание числителей:

$\frac{a^2 - 48}{a - 8} - \frac{16}{a - 8} = \frac{a^2 - 48 - 16}{a - 8} = \frac{a^2 - 64}{a - 8}$

Числитель $a^2 - 64$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^2 - 64 = a^2 - 8^2 = (a - 8)(a + 8)$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим ее:

$\frac{(a - 8)(a + 8)}{a - 8} = a + 8$

Теперь подставим значение $a = 32$ в упрощенное выражение:

$32 + 8 = 40$

Ответ: 40

2) Сначала упростим выражение. Заметим, что знаменатели дробей являются противоположными числами: $8 - c^3 = -(c^3 - 8)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя в знак перед дробью, чтобы привести дроби к общему знаменателю:

$\frac{c^2 + 3c + 7}{c^3 - 8} + \frac{c + 3}{8 - c^3} = \frac{c^2 + 3c + 7}{c^3 - 8} - \frac{c + 3}{c^3 - 8}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(c^2 + 3c + 7) - (c + 3)}{c^3 - 8} = \frac{c^2 + 3c + 7 - c - 3}{c^3 - 8} = \frac{c^2 + 2c + 4}{c^3 - 8}$

Знаменатель $c^3 - 8$ является разностью кубов. Разложим его по формуле $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$c^3 - 8 = c^3 - 2^3 = (c - 2)(c^2 + 2c + 4)$

Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь и сократим на общий множитель $(c^2 + 2c + 4)$:

$\frac{c^2 + 2c + 4}{(c - 2)(c^2 + 2c + 4)} = \frac{1}{c - 2}$

Теперь подставим значение $c = -3$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{-3 - 2} = \frac{1}{-5} = -0.2$

Ответ: -0,2

75. Найдите значение выражения:

1) $\frac{5x + 3}{x^2 - 16} + \frac{6x - 1}{16 - x^2}$ при $x = -4,1$;

2) $\frac{a^2 + a}{a^2 - 9} - \frac{7a - 9}{a^2 - 9}$ при $a = 7.$

1) Сначала упростим данное выражение. Заметим, что знаменатели дробей $x^2 - 16$ и $16 - x^2$ являются противоположными выражениями, так как $16 - x^2 = -(x^2 - 16)$. Это позволяет привести дроби к общему знаменателю.

$\frac{5x + 3}{x^2 - 16} + \frac{6x - 1}{16 - x^2} = \frac{5x + 3}{x^2 - 16} - \frac{6x - 1}{x^2 - 16}$

Так как знаменатели теперь одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(5x + 3) - (6x - 1)}{x^2 - 16} = \frac{5x + 3 - 6x + 1}{x^2 - 16} = \frac{4 - x}{x^2 - 16}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесем в числителе $-1$ за скобки:

$\frac{-(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x - 4)$, что возможно, так как по условию $x = -4,1$, а значит $x \neq 4$.

$\frac{-1}{x + 4}$

Теперь подставим значение $x = -4,1$ в упрощенное выражение:

$\frac{-1}{-4,1 + 4} = \frac{-1}{-0,1} = 10$

Ответ: 10.

2) В данном выражении дроби уже имеют одинаковый знаменатель $a^2 - 9$. Выполним вычитание дробей, вычитая их числители:

$\frac{a^2 + a}{a^2 - 9} - \frac{7a - 9}{a^2 - 9} = \frac{(a^2 + a) - (7a - 9)}{a^2 - 9}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2 + a - 7a + 9}{a^2 - 9} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 - 9}$

Теперь упростим полученную дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а знаменатель — разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{(a - 3)^2}{(a - 3)(a + 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - 3)$, что возможно, так как по условию $a = 7$, а значит $a \neq 3$.

$\frac{a - 3}{a + 3}$

Подставим значение $a = 7$ в упрощенное выражение:

$\frac{7 - 3}{7 + 3} = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: 0,4.

76. Упростите выражение:

1) $\frac{5n-1}{20n} - \frac{7n-8}{20n} - \frac{8n+7}{20n}$

2) $\frac{9m+2}{m^2-4} - \frac{m-9}{4-m^2} + \frac{1-7m}{m^2-4}$

3) $\frac{3k}{k^3-1} + \frac{4k+1}{1-k^3} + \frac{k^2}{1-k^3}$

1) $\frac{5n - 1}{20n} - \frac{7n - 8}{20n} - \frac{8n + 7}{20n}$

Поскольку все дроби имеют общий знаменатель $20n$, мы можем объединить их числители, выполнив соответствующие действия вычитания. Важно правильно раскрыть скобки, учитывая знаки "минус" перед дробями.

$\frac{(5n - 1) - (7n - 8) - (8n + 7)}{20n}$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{5n - 1 - 7n + 8 - 8n - 7}{20n}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

Для слагаемых с переменной $n$: $5n - 7n - 8n = -10n$

Для констант: $-1 + 8 - 7 = 0$

В результате числитель равен $-10n$. Подставляем его обратно в дробь:

$\frac{-10n}{20n}$

Сокращаем дробь на общий множитель $10n$ (при условии, что $n \neq 0$):

$\frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) $\frac{9m + 2}{m^2 - 4} - \frac{m - 9}{4 - m^2} + \frac{1 - 7m}{m^2 - 4}$

Чтобы выполнить действия с дробями, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $4 - m^2$ можно представить как $-(m^2 - 4)$. Используем это свойство, чтобы изменить знак перед дробью и знак знаменателя:

$\frac{9m + 2}{m^2 - 4} - \frac{m - 9}{-(m^2 - 4)} + \frac{1 - 7m}{m^2 - 4} = \frac{9m + 2}{m^2 - 4} + \frac{m - 9}{m^2 - 4} + \frac{1 - 7m}{m^2 - 4}$

Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель $m^2 - 4$, сложим их числители:

$\frac{(9m + 2) + (m - 9) + (1 - 7m)}{m^2 - 4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

Для слагаемых с переменной $m$: $9m + m - 7m = 3m$

Для констант: $2 - 9 + 1 = -6$

Получаем выражение:

$\frac{3m - 6}{m^2 - 4}$

Для дальнейшего упрощения разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем общий множитель 3. Знаменатель является разностью квадратов $m^2 - 2^2$.

$\frac{3(m - 2)}{(m - 2)(m + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m - 2)$ (при условии, что $m \neq 2$):

$\frac{3}{m + 2}$

Ответ: $\frac{3}{m + 2}$

3) $\frac{3k}{k^3 - 1} + \frac{4k + 1}{1 - k^3} + \frac{k^2}{1 - k^3}$

Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $1 - k^3 = -(k^3 - 1)$. Используем это, изменив знаки перед второй и третьей дробями и их знаменателями:

$\frac{3k}{k^3 - 1} - \frac{4k + 1}{k^3 - 1} - \frac{k^2}{k^3 - 1}$

Теперь объединим числители под общим знаменателем $k^3 - 1$:

$\frac{3k - (4k + 1) - k^2}{k^3 - 1}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3k - 4k - 1 - k^2}{k^3 - 1}$

Приведем подобные слагаемые и упорядочим члены в числителе по убыванию степеней:

$\frac{-k^2 - k - 1}{k^3 - 1}$

Вынесем $-1$ за скобку в числителе:

$\frac{-(k^2 + k + 1)}{k^3 - 1}$

Разложим знаменатель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$k^3 - 1 = (k - 1)(k^2 + k \cdot 1 + 1^2) = (k - 1)(k^2 + k + 1)$

Подставим разложенный знаменатель в выражение:

$\frac{-(k^2 + k + 1)}{(k - 1)(k^2 + k + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(k^2 + k + 1)$ (при условии, что $k \neq 1$):

$\frac{-1}{k - 1}$

Ответ: $\frac{-1}{k - 1}$

77. Упростите выражение:

1) $\frac{6a-1}{16a-8} + \frac{4a-7}{16a-8} + \frac{-2a-2}{8-16a}$

2) $\frac{2a^2+12a}{a^2-25} + \frac{8a-9}{25-a^2} - \frac{a^2+14a-16}{a^2-25}$

1) Чтобы упростить выражение $\frac{6a - 1}{16a - 8} + \frac{4a - 7}{16a - 8} + \frac{-2a - 2}{8 - 16a}$, приведем все дроби к общему знаменателю.
Знаменатели первой и второй дробей совпадают: $16a - 8$.
Знаменатель третьей дроби: $8 - 16a$. Вынесем за скобки $-1$: $8 - 16a = -(16a - 8)$.
Теперь преобразуем третью дробь, изменив знак перед ней:
$\frac{-2a - 2}{8 - 16a} = \frac{-2a - 2}{-(16a - 8)} = -\frac{-2a - 2}{16a - 8}$
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{6a - 1}{16a - 8} + \frac{4a - 7}{16a - 8} - \frac{-2a - 2}{16a - 8}$
Так как знаменатели одинаковы, выполним действия с числителями:
$\frac{(6a - 1) + (4a - 7) - (-2a - 2)}{16a - 8} = \frac{6a - 1 + 4a - 7 + 2a + 2}{16a - 8}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(6a + 4a + 2a) + (-1 - 7 + 2)}{16a - 8} = \frac{12a - 6}{16a - 8}$
Теперь разложим на множители числитель и знаменатель, чтобы сократить дробь:
В числителе вынесем за скобки 6: $12a - 6 = 6(2a - 1)$.
В знаменателе вынесем за скобки 8: $16a - 8 = 8(2a - 1)$.
Получим:
$\frac{6(2a - 1)}{8(2a - 1)}$
Сократим общий множитель $(2a - 1)$:
$\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
Упрощение возможно при условии, что $16a - 8 \neq 0$, то есть $a \neq \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) Упростим выражение $\frac{2a^2 + 12a}{a^2 - 25} + \frac{8a - 9}{25 - a^2} - \frac{a^2 + 14a - 16}{a^2 - 25}$.
Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $25 - a^2$ можно представить как $-(a^2 - 25)$.
Преобразуем вторую дробь:
$\frac{8a - 9}{25 - a^2} = \frac{8a - 9}{-(a^2 - 25)} = -\frac{8a - 9}{a^2 - 25}$
Подставим преобразованную дробь в исходное выражение:
$\frac{2a^2 + 12a}{a^2 - 25} - \frac{8a - 9}{a^2 - 25} - \frac{a^2 + 14a - 16}{a^2 - 25}$
Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, выполним действия с числителями:
$\frac{(2a^2 + 12a) - (8a - 9) - (a^2 + 14a - 16)}{a^2 - 25}$
Раскроем скобки в числителе, меняя знаки там, где это необходимо:
$\frac{2a^2 + 12a - 8a + 9 - a^2 - 14a + 16}{a^2 - 25}$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{(2a^2 - a^2) + (12a - 8a - 14a) + (9 + 16)}{a^2 - 25} = \frac{a^2 - 10a + 25}{a^2 - 25}$
Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это формула квадрата разности, а знаменатель — формула разности квадратов.
$a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$
$a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(a - 5)^2}{(a - 5)(a + 5)}$
Сократим общий множитель $(a - 5)$:
$\frac{a - 5}{a + 5}$
Упрощение возможно при условии, что $a^2 - 25 \neq 0$, то есть $a \neq 5$ и $a \neq -5$.

Ответ: $\frac{a - 5}{a + 5}$

78. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{15 - 8a}{(a - 1)^2} - \frac{14 - 7a}{(1 - a)^2}$;

2) $\frac{3b^2 + 12}{(b - 2)^3} + \frac{12b}{(2 - b)^3}$;

3) $\frac{m^2 - 8n}{(m - 2)(n - 5)} - \frac{2m - 8n}{(2 - m)(5 - n)}$.

1) Для того чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели связаны соотношением $(1-a)^2 = (-(a-1))^2 = (-1)^2(a-1)^2 = (a-1)^2$. Таким образом, знаменатели дробей равны.

$\frac{15-8a}{(a-1)^2} - \frac{14-7a}{(1-a)^2} = \frac{15-8a}{(a-1)^2} - \frac{14-7a}{(a-1)^2}$

Теперь выполним вычитание числителей:

$\frac{(15-8a) - (14-7a)}{(a-1)^2} = \frac{15-8a-14+7a}{(a-1)^2} = \frac{(15-14) + (-8a+7a)}{(a-1)^2} = \frac{1-a}{(a-1)^2}$

В числителе вынесем минус за скобки: $1-a = -(a-1)$.

$\frac{-(a-1)}{(a-1)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-1)$:

$\frac{-1}{a-1} = \frac{1}{-(a-1)} = \frac{1}{1-a}$

Ответ: $\frac{1}{1-a}$

2) Преобразуем знаменатель второй дроби. Заметим, что для нечетной степени верно $(2-b)^3 = (-(b-2))^3 = (-1)^3(b-2)^3 = -(b-2)^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{3b^2+12}{(b-2)^3} + \frac{12b}{(2-b)^3} = \frac{3b^2+12}{(b-2)^3} + \frac{12b}{-(b-2)^3} = \frac{3b^2+12}{(b-2)^3} - \frac{12b}{(b-2)^3}$

Так как знаменатели теперь одинаковы, объединим числители:

$\frac{3b^2+12 - 12b}{(b-2)^3} = \frac{3b^2 - 12b + 12}{(b-2)^3}$

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки:

$\frac{3(b^2 - 4b + 4)}{(b-2)^3}$

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $b^2 - 4b + 4 = (b-2)^2$.

$\frac{3(b-2)^2}{(b-2)^3}$

Сократим дробь на $(b-2)^2$:

$\frac{3}{b-2}$

Ответ: $\frac{3}{b-2}$

3) Преобразуем знаменатель второй дроби. Вынесем знак минус из каждого множителя в скобках:

$(2-m)(5-n) = (-(m-2)) \cdot (-(n-5)) = (-1) \cdot (m-2) \cdot (-1) \cdot (n-5) = (m-2)(n-5)$

Мы видим, что знаменатели обеих дробей одинаковы. Перепишем выражение:

$\frac{m^2-8n}{(m-2)(n-5)} - \frac{2m-8n}{(2-m)(5-n)} = \frac{m^2-8n}{(m-2)(n-5)} - \frac{2m-8n}{(m-2)(n-5)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(m^2-8n) - (2m-8n)}{(m-2)(n-5)} = \frac{m^2-8n-2m+8n}{(m-2)(n-5)} = \frac{m^2-2m}{(m-2)(n-5)}$

В числителе вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$\frac{m(m-2)}{(m-2)(n-5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m-2)$:

$\frac{m}{n-5}$

Ответ: $\frac{m}{n-5}$

79. Упростите выражение:

1) $\frac{x^2 - 16x}{(x - 7)^4} + \frac{2x + 49}{(7 - x)^4}$;

2) $\frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{(6 - y)(2 + y)}$.

1) $ \frac{x^2 - 16x}{(x - 7)^4} + \frac{2x + 49}{(7 - x)^4} $

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели дробей связаны соотношением $(7 - x) = -(x - 7)$. Поскольку степень четная (4), то $(7 - x)^4 = (-(x - 7))^4 = (-1)^4 \cdot (x - 7)^4 = (x - 7)^4$.

Знаменатели дробей равны. Следовательно, мы можем сложить их числители:

$ \frac{x^2 - 16x}{(x - 7)^4} + \frac{2x + 49}{(x - 7)^4} = \frac{(x^2 - 16x) + (2x + 49)}{(x - 7)^4} = \frac{x^2 - 14x + 49}{(x - 7)^4} $

Теперь рассмотрим числитель $x^2 - 14x + 49$. Это выражение является полным квадратом разности, так как оно соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, где $a = x$ и $b = 7$.

$ x^2 - 14x + 49 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x - 7)^2 $

Подставим полученное выражение обратно в дробь и сократим ее, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ \frac{(x - 7)^2}{(x - 7)^4} = (x - 7)^{2-4} = (x - 7)^{-2} = \frac{1}{(x - 7)^2} $

Ответ: $ \frac{1}{(x - 7)^2} $

2) $ \frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{(6 - y)(2 + y)} $

Приведем дроби к общему знаменателю. Обратим внимание на знаменатель второй дроби. Множитель $(6 - y)$ можно представить как $-(y - 6)$, а множитель $(2+y)$ равен $(y+2)$.

Таким образом, знаменатель второй дроби равен: $(6 - y)(2 + y) = -(y - 6)(y + 2)$.

Перепишем исходное выражение, вынеся знак "минус" из знаменателя второй дроби перед всей дробью:

$ \frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{-(y - 6)(y + 2)} = \frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} - \frac{y + 36}{(y - 6)(y + 2)} $

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание числителей:

$ \frac{(y^2 + y) - (y + 36)}{(y - 6)(y + 2)} = \frac{y^2 + y - y - 36}{(y - 6)(y + 2)} = \frac{y^2 - 36}{(y - 6)(y + 2)} $

Числитель $y^2 - 36$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$ y^2 - 36 = y^2 - 6^2 = (y - 6)(y + 6) $

Подставим разложенный числитель в дробь и сократим общий множитель $(y - 6)$:

$ \frac{(y - 6)(y + 6)}{(y - 6)(y + 2)} = \frac{y + 6}{y + 2} $

Ответ: $ \frac{y + 6}{y + 2} $

80. Докажите тождество:

1) $\frac{(a+b)^2}{4ab} - \frac{(a-b)^2}{4ab} = 1;$

2) $\frac{(a+b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2} = 2.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Область допустимых значений этого выражения определяется условием $4ab \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним вычитание числителей:

$ \frac{(a+b)^2}{4ab} - \frac{(a-b)^2}{4ab} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4ab} $

Числитель представляет собой разность квадратов. Применим формулу сокращенного умножения $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+b$ и $y = a-b$:

$ (a+b)^2 - (a-b)^2 = ((a+b) - (a-b)) \cdot ((a+b) + (a-b)) $

Упростим выражения в скобках, раскрыв внутренние скобки:

$ (a+b-a+b) \cdot (a+b+a-b) = (2b) \cdot (2a) = 4ab $

Подставим полученный результат обратно в числитель дроби:

$ \frac{4ab}{4ab} = 1 $

Мы получили, что левая часть тождества равна 1, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Область допустимых значений определяется условием $a^2+b^2 \neq 0$, что означает, что $a$ и $b$ не могут быть равны нулю одновременно.
Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$ \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$ (a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2 = (a^2+a^2) + (b^2+b^2) + (2ab-2ab) = 2a^2+2b^2 $

Подставим полученное выражение в дробь и вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ \frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} $

Сократим дробь на общий множитель $(a^2+b^2)$:

$ \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = 2 $

Мы получили, что левая часть тождества равна 2, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

81. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной x значение выражения $\frac{12x - 25}{20x - 15} + \frac{8x + 10}{20x - 15}$ не зависит от значения x.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить.

Данное выражение: $ \frac{12x - 25}{20x - 15} + \frac{8x + 10}{20x - 15} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

$ 20x - 15 \neq 0 $

$ 20x \neq 15 $

$ x \neq \frac{15}{20} $

$ x \neq \frac{3}{4} $

Таким образом, выражение определено для всех значений $x$, кроме $x = \frac{3}{4}$.

Теперь выполним сложение дробей. Поскольку у них одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители, оставив знаменатель без изменений.

$ \frac{12x - 25}{20x - 15} + \frac{8x + 10}{20x - 15} = \frac{(12x - 25) + (8x + 10)}{20x - 15} $

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$ (12x - 25) + (8x + 10) = 12x + 8x - 25 + 10 = 20x - 15 $

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$ \frac{20x - 15}{20x - 15} $

При всех допустимых значениях $x$ (т.е. при $x \neq \frac{3}{4}$), числитель и знаменатель этой дроби равны и не равны нулю. Деление любого ненулевого числа на само себя равно 1.

$ \frac{20x - 15}{20x - 15} = 1 $

Мы получили в результате число 1, которое является константой и не содержит переменную $x$. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от значения $x$ при всех допустимых его значениях.

Ответ: Поскольку при всех допустимых значениях $x$ выражение равно 1, доказано, что его значение не зависит от переменной $x$.

82. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $y$ значение выражения $\frac{17y+5}{21y-3} - \frac{9-11y}{21y-3}$ не зависит от значения $y$.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной y, необходимо это выражение упростить. Если в результате упрощения переменная y сократится и останется только числовое значение, то утверждение будет доказано.

Данное выражение: $ \frac{17y+5}{21y-3} - \frac{9-11y}{21y-3} $.

В первую очередь найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной y. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $ 21y - 3 \neq 0 $ $ 21y \neq 3 $ $ y \neq \frac{3}{21} $ $ y \neq \frac{1}{7} $ Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях y, кроме $y = \frac{1}{7}$.

Теперь выполним упрощение выражения. Поскольку у обеих дробей одинаковый знаменатель, мы можем объединить их в одну дробь, вычитая числители: $ \frac{17y+5}{21y-3} - \frac{9-11y}{21y-3} = \frac{(17y+5) - (9-11y)}{21y-3} $

Раскроем скобки в числителе. Обратим внимание, что знак "минус" перед второй дробью меняет знаки каждого слагаемого в ее числителе на противоположные: $ \frac{17y+5 - 9 + 11y}{21y-3} $

Приведем подобные слагаемые в числителе: $ \frac{(17y+11y) + (5-9)}{21y-3} = \frac{28y - 4}{21y-3} $

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе, чтобы попытаться сократить дробь: В числителе: $ 28y - 4 = 4(7y - 1) $ В знаменателе: $ 21y - 3 = 3(7y - 1) $

Подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь: $ \frac{4(7y - 1)}{3(7y - 1)} $

Теперь можно сократить общий множитель $ (7y - 1) $. Это действие корректно, так как в области допустимых значений $ y \neq \frac{1}{7} $, что гарантирует, что $ 7y - 1 \neq 0 $. $ \frac{4\cancel{(7y - 1)}}{3\cancel{(7y - 1)}} = \frac{4}{3} $

В результате упрощения мы получили константу $ \frac{4}{3} $, которая не содержит переменную y. Это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от значения y при всех допустимых значениях.

Ответ: Значение выражения равно $ \frac{4}{3} $ при всех допустимых y и не зависит от y.

83. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $\frac{a^2 - 6}{(a-2)^4} - \frac{7a - 4}{(a-2)^4} + \frac{3a + 6}{(a-2)^4}$ принимает положительные значения.

Для доказательства утверждения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной a. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$(a - 2)^4 \neq 0$

Это условие выполняется, если $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$.

Далее упростим исходное выражение. Поскольку все три дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем выполнить действия с их числителями:

$\frac{a^2 - 6}{(a - 2)^4} - \frac{7a - 4}{(a - 2)^4} + \frac{3a + 6}{(a - 2)^4} = \frac{(a^2 - 6) - (7a - 4) + (3a + 6)}{(a - 2)^4}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 6 - 7a + 4 + 3a + 6 = a^2 + (-7a + 3a) + (-6 + 4 + 6) = a^2 - 4a + 4$

Выражение в числителе представляет собой полный квадрат разности:

$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

Теперь подставим полученный результат обратно в дробь:

$\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)^4}$

Сократим дробь, используя свойство степеней:

$\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)^4} = \frac{1}{(a - 2)^{4-2}} = \frac{1}{(a - 2)^2}$

Проанализируем полученное выражение $\frac{1}{(a - 2)^2}$.

• Числитель дроби равен 1, что является положительным числом.
• Знаменатель дроби $(a - 2)^2$ — это квадрат выражения. Согласно ОДЗ, $a \neq 2$, поэтому выражение $a - 2$ не равно нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда является строго положительным числом. Следовательно, $(a - 2)^2 > 0$ при всех допустимых значениях a.

Таким образом, мы имеем дробь, у которой и числитель, и знаменатель строго положительны при всех допустимых значениях переменной. Частное двух положительных чисел всегда положительно. Это доказывает, что исходное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях a.

Ответ: Исходное выражение после преобразований равно $\frac{1}{(a - 2)^2}$. При всех допустимых значениях ($a \neq 2$), знаменатель $(a - 2)^2$ строго положителен как квадрат ненулевого числа, а числитель равен 1 (также положителен). Следовательно, значение всего выражения всегда положительно.