Страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

108. Выполните действия:

1) $\frac{3}{x+3} + \frac{x+4}{x^2-9};$

2) $\frac{a^2}{a^2-64} - \frac{a}{a-8};$

3) $\frac{6b}{9b^2-4} - \frac{1}{3b-2};$

4) $\frac{3a+b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a+b};$

5) $\frac{m}{m+5} - \frac{m^2}{m^2+10m+25};$

6) $\frac{b}{a+b} - \frac{b^2}{a^2+b^2+2ab};$

1) $\frac{3}{x+3} + \frac{x+4}{x^2 - 9}$

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.

Выражение принимает вид:
$\frac{3}{x+3} + \frac{x+4}{(x-3)(x+3)}$

Общий знаменатель дробей — это $(x-3)(x+3)$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $(x-3)$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель:

$\frac{3(x-3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{x+4}{(x-3)(x+3)}$

Теперь сложим числители, а знаменатель оставим прежним:

$\frac{3(x-3) + (x+4)}{(x-3)(x+3)} = \frac{3x - 9 + x + 4}{(x-3)(x+3)} = \frac{4x - 5}{(x-3)(x+3)}$

Можно представить знаменатель в исходном виде:

$\frac{4x-5}{x^2-9}$

Ответ: $\frac{4x-5}{x^2-9}$

2) $\frac{a^2}{a^2 - 64} - \frac{a}{a-8}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $a^2 - 64 = a^2 - 8^2 = (a-8)(a+8)$.

Выражение принимает вид:
$\frac{a^2}{(a-8)(a+8)} - \frac{a}{a-8}$

Общий знаменатель — $(a-8)(a+8)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(a+8)$.

$\frac{a^2}{(a-8)(a+8)} - \frac{a(a+8)}{(a-8)(a+8)} = \frac{a^2 - a(a+8)}{(a-8)(a+8)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{a^2 - a^2 - 8a}{(a-8)(a+8)} = \frac{-8a}{(a-8)(a+8)} = \frac{-8a}{a^2-64}$

Ответ: $\frac{-8a}{a^2-64}$

3) $\frac{6b}{9b^2 - 4} - \frac{1}{3b-2}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $9b^2 - 4 = (3b)^2 - 2^2 = (3b-2)(3b+2)$.

Выражение принимает вид:
$\frac{6b}{(3b-2)(3b+2)} - \frac{1}{3b-2}$

Общий знаменатель — $(3b-2)(3b+2)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(3b+2)$.

$\frac{6b}{(3b-2)(3b+2)} - \frac{1(3b+2)}{(3b-2)(3b+2)} = \frac{6b - (3b+2)}{(3b-2)(3b+2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6b - 3b - 2}{(3b-2)(3b+2)} = \frac{3b-2}{(3b-2)(3b+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(3b-2)$:

$\frac{1}{3b+2}$

Ответ: $\frac{1}{3b+2}$

4) $\frac{3a+b}{a^2 - b^2} + \frac{1}{a+b}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Общий знаменатель — $(a-b)(a+b)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(a-b)$.

$\frac{3a+b}{(a-b)(a+b)} + \frac{1(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(3a+b) + (a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3a+a+b-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{4a}{(a-b)(a+b)} = \frac{4a}{a^2-b^2}$

Ответ: $\frac{4a}{a^2-b^2}$

5) $\frac{m}{m+5} - \frac{m^2}{m^2 + 10m + 25}$

Знаменатель второй дроби является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$:
$m^2 + 10m + 25 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 5 + 5^2 = (m+5)^2$.

Выражение принимает вид:
$\frac{m}{m+5} - \frac{m^2}{(m+5)^2}$

Общий знаменатель — $(m+5)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(m+5)$.

$\frac{m(m+5)}{(m+5)^2} - \frac{m^2}{(m+5)^2} = \frac{m(m+5) - m^2}{(m+5)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{m^2 + 5m - m^2}{(m+5)^2} = \frac{5m}{(m+5)^2}$

Ответ: $\frac{5m}{(m+5)^2}$

6) $\frac{b}{a+b} - \frac{b^2}{a^2 + b^2 + 2ab}$

Знаменатель второй дроби является полным квадратом. Переставим слагаемые и применим формулу квадрата суммы:
$a^2 + b^2 + 2ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Выражение принимает вид:
$\frac{b}{a+b} - \frac{b^2}{(a+b)^2}$

Общий знаменатель — $(a+b)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(a+b)$.

$\frac{b(a+b)}{(a+b)^2} - \frac{b^2}{(a+b)^2} = \frac{b(a+b) - b^2}{(a+b)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{ab + b^2 - b^2}{(a+b)^2} = \frac{ab}{(a+b)^2}$

Ответ: $\frac{ab}{(a+b)^2}$

109. Упростите выражение:

1) $ \frac{4x - y}{x^2 - y^2} + \frac{1}{x - y}; $

2) $ \frac{y^2}{y^2 - 81} - \frac{y}{y + 9}; $

3) $ \frac{10a}{25a^2 - 9} - \frac{1}{5a + 3}; $

4) $ \frac{n}{n - 7} - \frac{n^2}{n^2 - 14n + 49}. $

1) Дано выражение $\frac{4x - y}{x^2 - y^2} + \frac{1}{x - y}$.
Знаменатель первой дроби $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Выражение принимает вид: $\frac{4x - y}{(x - y)(x + y)} + \frac{1}{x - y}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $(x - y)(x + y)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x + y)$:
$\frac{4x - y}{(x - y)(x + y)} + \frac{1 \cdot (x + y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{4x - y + x + y}{(x - y)(x + y)}$.
Теперь сложим числители и упростим полученное выражение:
$\frac{4x + x - y + y}{(x - y)(x + y)} = \frac{5x}{(x - y)(x + y)} = \frac{5x}{x^2 - y^2}$.
Ответ: $\frac{5x}{x^2 - y^2}$.

2) Дано выражение $\frac{y^2}{y^2 - 81} - \frac{y}{y + 9}$.
Разложим знаменатель первой дроби $y^2 - 81$ на множители как разность квадратов: $y^2 - 81 = (y - 9)(y + 9)$.
Получаем: $\frac{y^2}{(y - 9)(y + 9)} - \frac{y}{y + 9}$.
Общий знаменатель для этих дробей - $(y - 9)(y + 9)$. Домножим вторую дробь на недостающий множитель $(y - 9)$:
$\frac{y^2}{(y - 9)(y + 9)} - \frac{y(y - 9)}{(y + 9)(y - 9)} = \frac{y^2 - y(y - 9)}{(y - 9)(y + 9)}$.
Раскроем скобки в числителе и выполним вычитание:
$\frac{y^2 - y^2 + 9y}{(y - 9)(y + 9)} = \frac{9y}{(y - 9)(y + 9)} = \frac{9y}{y^2 - 81}$.
Ответ: $\frac{9y}{y^2 - 81}$.

3) Дано выражение $\frac{10a}{25a^2 - 9} - \frac{1}{5a + 3}$.
Знаменатель первой дроби $25a^2 - 9$ раскладывается на множители по формуле разности квадратов: $(5a - 3)(5a + 3)$.
Выражение преобразуется к виду: $\frac{10a}{(5a - 3)(5a + 3)} - \frac{1}{5a + 3}$.
Общий знаменатель - $(5a - 3)(5a + 3)$. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее на $(5a - 3)$:
$\frac{10a}{(5a - 3)(5a + 3)} - \frac{1 \cdot (5a - 3)}{(5a + 3)(5a - 3)} = \frac{10a - (5a - 3)}{(5a - 3)(5a + 3)}$.
Упростим числитель:
$\frac{10a - 5a + 3}{(5a - 3)(5a + 3)} = \frac{5a + 3}{(5a - 3)(5a + 3)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(5a + 3)$:
$\frac{1}{5a - 3}$.
Ответ: $\frac{1}{5a - 3}$.

4) Дано выражение $\frac{n}{n - 7} - \frac{n^2}{n^2 - 14n + 49}$.
Знаменатель второй дроби $n^2 - 14n + 49$ является полным квадратом разности: $(n - 7)^2$.
Получаем выражение: $\frac{n}{n - 7} - \frac{n^2}{(n - 7)^2}$.
Общий знаменатель равен $(n - 7)^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(n - 7)$:
$\frac{n(n - 7)}{(n - 7)(n - 7)} - \frac{n^2}{(n - 7)^2} = \frac{n(n - 7) - n^2}{(n - 7)^2}$.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{n^2 - 7n - n^2}{(n - 7)^2} = \frac{-7n}{(n - 7)^2}$.
Ответ: $\frac{-7n}{(n - 7)^2}$.

110. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ \frac{a}{b} + 1; $

2) $ \frac{x}{y} - x; $

3) $ \frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2; $

4) $ \frac{9}{p^2} - \frac{4}{p} + 3; $

5) $ 2 - \frac{3b + 2a}{a}; $

6) $ \frac{3b + 4}{b - 2} - 3; $

7) $ 6m - \frac{12m^2 + 1}{2m}; $

8) $ \frac{20b^2 + 5}{2b - 1} - 10b. $

1) Чтобы представить выражение в виде дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для дроби $\frac{a}{b}$ и числа $1$ равен $b$. Представим $1$ как дробь со знаменателем $b$: $1 = \frac{b}{b}$.

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{a}{b} + 1 = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a+b}{b}$

Ответ: $\frac{a+b}{b}$

2) Приведем выражение к общему знаменателю $y$. Представим $x$ в виде дроби со знаменателем $y$: $x = \frac{xy}{y}$.

Теперь выполним вычитание:

$\frac{x}{y} - x = \frac{x}{y} - \frac{xy}{y} = \frac{x - xy}{y}$

Можно вынести общий множитель $x$ в числителе за скобки:

$\frac{x(1-y)}{y}$

Ответ: $\frac{x(1-y)}{y}$

3) Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{m}{n}$, $\frac{n}{m}$ и числа $2$. Общий знаменатель равен $mn$. Приведем каждое слагаемое к этому знаменателю.

$\frac{m}{n} = \frac{m \cdot m}{n \cdot m} = \frac{m^2}{mn}$

$\frac{n}{m} = \frac{n \cdot n}{m \cdot n} = \frac{n^2}{mn}$

$2 = \frac{2 \cdot mn}{mn} = \frac{2mn}{mn}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{m^2}{mn} + \frac{n^2}{mn} + \frac{2mn}{mn} = \frac{m^2 + n^2 + 2mn}{mn}$

Числитель представляет собой формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$\frac{m^2 + 2mn + n^2}{mn} = \frac{(m+n)^2}{mn}$

Ответ: $\frac{(m+n)^2}{mn}$

4) Общий знаменатель для слагаемых $\frac{9}{p^2}$, $-\frac{4}{p}$ и $3$ равен $p^2$. Приведем слагаемые к этому знаменателю.

$\frac{4}{p} = \frac{4 \cdot p}{p \cdot p} = \frac{4p}{p^2}$

$3 = \frac{3 \cdot p^2}{p^2} = \frac{3p^2}{p^2}$

Теперь выполним операции:

$\frac{9}{p^2} - \frac{4p}{p^2} + \frac{3p^2}{p^2} = \frac{9 - 4p + 3p^2}{p^2}$

Запишем числитель в стандартном виде (по убыванию степеней $p$):

$\frac{3p^2 - 4p + 9}{p^2}$

Ответ: $\frac{3p^2 - 4p + 9}{p^2}$

5) Приведем выражение к общему знаменателю $a$.

$2 - \frac{3b + 2a}{a} = \frac{2a}{a} - \frac{3b + 2a}{a}$

Выполним вычитание дробей. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, он относится ко всему числителю.

$\frac{2a - (3b + 2a)}{a} = \frac{2a - 3b - 2a}{a} = \frac{-3b}{a}$

Ответ: $-\frac{3b}{a}$

6) Общий знаменатель равен $b-2$. Приведем число $3$ к этому знаменателю.

$\frac{3b + 4}{b - 2} - 3 = \frac{3b + 4}{b - 2} - \frac{3(b-2)}{b-2}$

Выполним вычитание:

$\frac{(3b + 4) - 3(b-2)}{b-2} = \frac{3b + 4 - 3b + 6}{b-2}$

Упростим числитель:

$\frac{10}{b-2}$

Ответ: $\frac{10}{b-2}$

7) Общий знаменатель равен $2m$. Приведем $6m$ к этому знаменателю.

$6m - \frac{12m^2 + 1}{2m} = \frac{6m \cdot 2m}{2m} - \frac{12m^2 + 1}{2m} = \frac{12m^2}{2m} - \frac{12m^2 + 1}{2m}$

Выполним вычитание:

$\frac{12m^2 - (12m^2 + 1)}{2m} = \frac{12m^2 - 12m^2 - 1}{2m} = \frac{-1}{2m}$

Ответ: $-\frac{1}{2m}$

8) Общий знаменатель равен $2b-1$. Приведем $10b$ к этому знаменателю.

$\frac{20b^2 + 5}{2b - 1} - 10b = \frac{20b^2 + 5}{2b - 1} - \frac{10b(2b-1)}{2b-1}$

Выполним вычитание, раскрыв скобки в числителе второй дроби:

$\frac{(20b^2 + 5) - (20b^2 - 10b)}{2b - 1} = \frac{20b^2 + 5 - 20b^2 + 10b}{2b - 1}$

Упростим числитель:

$\frac{10b + 5}{2b - 1}$

Можно вынести общий множитель $5$ в числителе:

$\frac{5(2b + 1)}{2b - 1}$

Ответ: $\frac{5(2b + 1)}{2b - 1}$

111. Выполните действия:

1) $a - \frac{4}{a};$

2) $\frac{1}{x} + x - 2;$

3) $\frac{m}{n^3} - \frac{1}{n} + m;$

4) $\frac{2k^2}{k - 5} - k;$

5) $3n - \frac{9n^2 - 2}{3n};$

6) $5 - \frac{4y - 12}{y - 2};$

1)

Чтобы выполнить вычитание, приведем выражение к общему знаменателю $a$. Для этого представим $a$ в виде дроби $\frac{a}{1}$ и домножим ее числитель и знаменатель на $a$:

$a - \frac{4}{a} = \frac{a}{1} - \frac{4}{a} = \frac{a \cdot a}{1 \cdot a} - \frac{4}{a} = \frac{a^2}{a} - \frac{4}{a}$

Теперь вычтем дроби с одинаковыми знаменателями, объединив числители:

$\frac{a^2 - 4}{a}$

Ответ: $\frac{a^2 - 4}{a}$

2)

Чтобы выполнить действия, приведем все слагаемые к общему знаменателю $x$. Для этого представим $x$ как $\frac{x}{1}$ и $-2$ как $\frac{-2}{1}$:

$\frac{1}{x} + x - 2 = \frac{1}{x} + \frac{x}{1} - \frac{2}{1} = \frac{1}{x} + \frac{x \cdot x}{1 \cdot x} - \frac{2 \cdot x}{1 \cdot x} = \frac{1}{x} + \frac{x^2}{x} - \frac{2x}{x}$

Сложим и вычтем числители, оставив общий знаменатель без изменений, и упорядочим члены в числителе по убыванию степеней $x$:

$\frac{1 + x^2 - 2x}{x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x}$

Ответ: $\frac{x^2 - 2x + 1}{x}$

3)

Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{m}{n^3}$, $\frac{1}{n}$ и слагаемого $m$ (которое можно представить как $\frac{m}{1}$). Наименьшим общим знаменателем будет $n^3$.

Приведем все слагаемые к знаменателю $n^3$:

$\frac{m}{n^3} - \frac{1}{n} + m = \frac{m}{n^3} - \frac{1 \cdot n^2}{n \cdot n^2} + \frac{m \cdot n^3}{1 \cdot n^3} = \frac{m}{n^3} - \frac{n^2}{n^3} + \frac{mn^3}{n^3}$

Теперь выполним действия с числителями:

$\frac{m - n^2 + mn^3}{n^3}$

Ответ: $\frac{m - n^2 + mn^3}{n^3}$

4)

Общий знаменатель для данного выражения — $k-5$. Представим $k$ в виде дроби со знаменателем $k-5$:

$k = \frac{k}{1} = \frac{k(k-5)}{k-5} = \frac{k^2 - 5k}{k-5}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{2k^2}{k-5} - k = \frac{2k^2}{k-5} - \frac{k^2 - 5k}{k-5} = \frac{2k^2 - (k^2 - 5k)}{k-5}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2k^2 - k^2 + 5k}{k-5} = \frac{k^2 + 5k}{k-5}$

Ответ: $\frac{k^2 + 5k}{k-5}$

5)

Приведем выражение к общему знаменателю $3n$. Для этого умножим $3n$ на дробь $\frac{3n}{3n}$:

$3n - \frac{9n^2 - 2}{3n} = \frac{3n \cdot 3n}{3n} - \frac{9n^2 - 2}{3n} = \frac{9n^2}{3n} - \frac{9n^2 - 2}{3n}$

Выполним вычитание дробей. Знак минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю:

$\frac{9n^2 - (9n^2 - 2)}{3n} = \frac{9n^2 - 9n^2 + 2}{3n}$

Упростим числитель:

$\frac{2}{3n}$

Ответ: $\frac{2}{3n}$

6)

Общий знаменатель — $y-2$. Приведем число 5 к этому знаменателю:

$5 = \frac{5}{1} = \frac{5(y-2)}{y-2} = \frac{5y - 10}{y-2}$

Теперь вычтем дроби:

$5 - \frac{4y-12}{y-2} = \frac{5y - 10}{y-2} - \frac{4y-12}{y-2}$

Объединим числители под общим знаменателем, раскрыв скобки с учетом знака минус:

$\frac{(5y - 10) - (4y - 12)}{y-2} = \frac{5y - 10 - 4y + 12}{y-2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(5y - 4y) + (-10 + 12)}{y-2} = \frac{y+2}{y-2}$

Ответ: $\frac{y+2}{y-2}$

112. Упростите выражение:

1) $ \frac{a^2 + 1}{a^2 - 2a + 1} + \frac{a + 1}{a - 1} $

2) $ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{a - b}{a + b} $

3) $ \frac{c + 7}{c - 7} + \frac{28c}{49 - c^2} $

4) $ \frac{5a + 3}{2a^2 + 6a} + \frac{6 - 3a}{a^2 - 9} $

5) $ \frac{a}{a^2 - 4a + 4} - \frac{a + 4}{a^2 - 4} $

6) $ \frac{2p}{p - 5} - \frac{5}{p + 5} + \frac{2p^2}{25 - p^2} $

7) $ \frac{1}{y} - \frac{y + 8}{16 - y^2} - \frac{2}{y - 4} $

8) $ \frac{2b - 1}{4b + 2} + \frac{4b}{4b^2 - 1} + \frac{2b + 1}{3 - 6b} $

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2+1}{a^2-2a+1} + \frac{a+1}{a-1} $, сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $ a^2-2a+1 $ является полным квадратом $ (a-1)^2 $. Общий знаменатель для дробей — $ (a-1)^2 $.
Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (a-1) $:
$ \frac{a+1}{a-1} = \frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)(a-1)} = \frac{a^2-1}{(a-1)^2} $
Теперь сложим дроби:
$ \frac{a^2+1}{(a-1)^2} + \frac{a^2-1}{(a-1)^2} = \frac{a^2+1+a^2-1}{(a-1)^2} = \frac{2a^2}{(a-1)^2} $
Ответ: $ \frac{2a^2}{(a-1)^2} $

2) Рассмотрим выражение $ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a-b}{a+b} $. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $. Это и будет общий знаменатель.
Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (a-b) $:
$ \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2} $
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a^2+b^2)-(a^2-2ab+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2-a^2+2ab-b^2}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2} $
Ответ: $ \frac{2ab}{a^2-b^2} $

3) Упростим $ \frac{c+7}{c-7} + \frac{28c}{49-c^2} $. Знаменатель второй дроби $ 49-c^2 $ можно записать как $ -(c^2-49) = -(c-7)(c+7) $. Изменим знак перед второй дробью:
$ \frac{c+7}{c-7} - \frac{28c}{c^2-49} = \frac{c+7}{c-7} - \frac{28c}{(c-7)(c+7)} $
Общий знаменатель — $ (c-7)(c+7) $. Приведем первую дробь к общему знаменателю:
$ \frac{(c+7)(c+7)}{(c-7)(c+7)} - \frac{28c}{(c-7)(c+7)} = \frac{(c+7)^2 - 28c}{(c-7)(c+7)} = \frac{c^2+14c+49-28c}{c^2-49} = \frac{c^2-14c+49}{c^2-49} $
Числитель $ c^2-14c+49 $ является полным квадратом $ (c-7)^2 $.
$ \frac{(c-7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{c-7}{c+7} $
Ответ: $ \frac{c-7}{c+7} $

4) Упростим выражение $ \frac{5a+3}{2a^2+6a} + \frac{6-3a}{a^2-9} $. Разложим знаменатели на множители:
$ 2a^2+6a = 2a(a+3) $
$ a^2-9 = (a-3)(a+3) $
Общий знаменатель $ 2a(a-3)(a+3) $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{(5a+3)(a-3)}{2a(a+3)(a-3)} + \frac{(6-3a)(2a)}{(a-3)(a+3)(2a)} = \frac{5a^2-15a+3a-9+12a-6a^2}{2a(a-3)(a+3)} $
Упростим числитель:
$ 5a^2-12a-9+12a-6a^2 = -a^2-9 = -(a^2+9) $
Получаем дробь:
$ \frac{-(a^2+9)}{2a(a-3)(a+3)} = -\frac{a^2+9}{2a(a^2-9)} $
Ответ: $ -\frac{a^2+9}{2a(a^2-9)} $

5) Упростим $ \frac{a}{a^2-4a+4} - \frac{a+4}{a^2-4} $. Разложим знаменатели на множители:
$ a^2-4a+4 = (a-2)^2 $
$ a^2-4 = (a-2)(a+2) $
Общий знаменатель $ (a-2)^2(a+2) $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{a(a+2)}{(a-2)^2(a+2)} - \frac{(a+4)(a-2)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{a(a+2)-(a+4)(a-2)}{(a-2)^2(a+2)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{a^2+2a-(a^2-2a+4a-8)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{a^2+2a-(a^2+2a-8)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{a^2+2a-a^2-2a+8}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{8}{(a-2)^2(a+2)} $
Ответ: $ \frac{8}{(a-2)^2(a+2)} $

6) Упростим $ \frac{2p}{p-5} - \frac{5}{p+5} + \frac{2p^2}{25-p^2} $. Знаменатель третьей дроби $ 25-p^2 = -(p^2-25) = -(p-5)(p+5) $. Изменим знак перед дробью:
$ \frac{2p}{p-5} - \frac{5}{p+5} - \frac{2p^2}{p^2-25} = \frac{2p}{p-5} - \frac{5}{p+5} - \frac{2p^2}{(p-5)(p+5)} $
Общий знаменатель $ (p-5)(p+5) $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{2p(p+5)}{(p-5)(p+5)} - \frac{5(p-5)}{(p-5)(p+5)} - \frac{2p^2}{(p-5)(p+5)} = \frac{2p(p+5)-5(p-5)-2p^2}{(p-5)(p+5)} $
Упростим числитель:
$ \frac{2p^2+10p-5p+25-2p^2}{p^2-25} = \frac{5p+25}{p^2-25} $
Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:
$ \frac{5(p+5)}{(p-5)(p+5)} = \frac{5}{p-5} $
Ответ: $ \frac{5}{p-5} $

7) Упростим $ \frac{1}{y} - \frac{y+8}{16-y^2} - \frac{2}{y-4} $. Преобразуем знаменатель второй дроби: $ 16-y^2 = -(y^2-16) $. Изменим знаки:
$ \frac{1}{y} - \frac{y+8}{-(y^2-16)} - \frac{2}{y-4} = \frac{1}{y} + \frac{y+8}{y^2-16} - \frac{2}{y-4} = \frac{1}{y} + \frac{y+8}{(y-4)(y+4)} - \frac{2}{y-4} $
Общий знаменатель $ y(y-4)(y+4) $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{(y-4)(y+4)}{y(y-4)(y+4)} + \frac{y(y+8)}{y(y-4)(y+4)} - \frac{2y(y+4)}{y(y-4)(y+4)} = \frac{y^2-16+y^2+8y-2y^2-8y}{y(y^2-16)} $
Упростим числитель:
$ \frac{(y^2+y^2-2y^2) + (8y-8y) - 16}{y(y^2-16)} = \frac{-16}{y(y^2-16)} $
Ответ: $ -\frac{16}{y(y^2-16)} $

8) Упростим $ \frac{2b-1}{4b+2} + \frac{4b}{4b^2-1} + \frac{2b+1}{3-6b} $. Разложим знаменатели на множители:
$ 4b+2 = 2(2b+1) $
$ 4b^2-1 = (2b-1)(2b+1) $
$ 3-6b = 3(1-2b) = -3(2b-1) $
Перепишем выражение, изменив знак последней дроби:
$ \frac{2b-1}{2(2b+1)} + \frac{4b}{(2b-1)(2b+1)} - \frac{2b+1}{3(2b-1)} $
Общий знаменатель $ 6(2b-1)(2b+1) $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{3(2b-1)(2b-1)}{6(2b-1)(2b+1)} + \frac{6 \cdot 4b}{6(2b-1)(2b+1)} - \frac{2(2b+1)(2b+1)}{6(2b-1)(2b+1)} = \frac{3(2b-1)^2+24b-2(2b+1)^2}{6(4b^2-1)} $
Упростим числитель:
$ \frac{3(4b^2-4b+1)+24b-2(4b^2+4b+1)}{6(4b^2-1)} = \frac{12b^2-12b+3+24b-8b^2-8b-2}{6(4b^2-1)} = \frac{4b^2+4b+1}{6(4b^2-1)} $
Числитель $ 4b^2+4b+1 $ является полным квадратом $ (2b+1)^2 $.
$ \frac{(2b+1)^2}{6(2b-1)(2b+1)} = \frac{2b+1}{6(2b-1)} $
Ответ: $ \frac{2b+1}{6(2b-1)} $