Номер 110, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 110, страница 28.

Условие.

110. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ \frac{a}{b} + 1; $

2) $ \frac{x}{y} - x; $

3) $ \frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2; $

4) $ \frac{9}{p^2} - \frac{4}{p} + 3; $

5) $ 2 - \frac{3b + 2a}{a}; $

6) $ \frac{3b + 4}{b - 2} - 3; $

7) $ 6m - \frac{12m^2 + 1}{2m}; $

8) $ \frac{20b^2 + 5}{2b - 1} - 10b. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы представить выражение в виде дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для дроби $\frac{a}{b}$ и числа $1$ равен $b$. Представим $1$ как дробь со знаменателем $b$: $1 = \frac{b}{b}$.

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{a}{b} + 1 = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a+b}{b}$

Ответ: $\frac{a+b}{b}$

2) Приведем выражение к общему знаменателю $y$. Представим $x$ в виде дроби со знаменателем $y$: $x = \frac{xy}{y}$.

Теперь выполним вычитание:

$\frac{x}{y} - x = \frac{x}{y} - \frac{xy}{y} = \frac{x - xy}{y}$

Можно вынести общий множитель $x$ в числителе за скобки:

$\frac{x(1-y)}{y}$

Ответ: $\frac{x(1-y)}{y}$

3) Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{m}{n}$, $\frac{n}{m}$ и числа $2$. Общий знаменатель равен $mn$. Приведем каждое слагаемое к этому знаменателю.

$\frac{m}{n} = \frac{m \cdot m}{n \cdot m} = \frac{m^2}{mn}$

$\frac{n}{m} = \frac{n \cdot n}{m \cdot n} = \frac{n^2}{mn}$

$2 = \frac{2 \cdot mn}{mn} = \frac{2mn}{mn}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{m^2}{mn} + \frac{n^2}{mn} + \frac{2mn}{mn} = \frac{m^2 + n^2 + 2mn}{mn}$

Числитель представляет собой формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$\frac{m^2 + 2mn + n^2}{mn} = \frac{(m+n)^2}{mn}$

Ответ: $\frac{(m+n)^2}{mn}$

4) Общий знаменатель для слагаемых $\frac{9}{p^2}$, $-\frac{4}{p}$ и $3$ равен $p^2$. Приведем слагаемые к этому знаменателю.

$\frac{4}{p} = \frac{4 \cdot p}{p \cdot p} = \frac{4p}{p^2}$

$3 = \frac{3 \cdot p^2}{p^2} = \frac{3p^2}{p^2}$

Теперь выполним операции:

$\frac{9}{p^2} - \frac{4p}{p^2} + \frac{3p^2}{p^2} = \frac{9 - 4p + 3p^2}{p^2}$

Запишем числитель в стандартном виде (по убыванию степеней $p$):

$\frac{3p^2 - 4p + 9}{p^2}$

Ответ: $\frac{3p^2 - 4p + 9}{p^2}$

5) Приведем выражение к общему знаменателю $a$.

$2 - \frac{3b + 2a}{a} = \frac{2a}{a} - \frac{3b + 2a}{a}$

Выполним вычитание дробей. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, он относится ко всему числителю.

$\frac{2a - (3b + 2a)}{a} = \frac{2a - 3b - 2a}{a} = \frac{-3b}{a}$

Ответ: $-\frac{3b}{a}$

6) Общий знаменатель равен $b-2$. Приведем число $3$ к этому знаменателю.

$\frac{3b + 4}{b - 2} - 3 = \frac{3b + 4}{b - 2} - \frac{3(b-2)}{b-2}$

Выполним вычитание:

$\frac{(3b + 4) - 3(b-2)}{b-2} = \frac{3b + 4 - 3b + 6}{b-2}$

Упростим числитель:

$\frac{10}{b-2}$

Ответ: $\frac{10}{b-2}$

7) Общий знаменатель равен $2m$. Приведем $6m$ к этому знаменателю.

$6m - \frac{12m^2 + 1}{2m} = \frac{6m \cdot 2m}{2m} - \frac{12m^2 + 1}{2m} = \frac{12m^2}{2m} - \frac{12m^2 + 1}{2m}$

Выполним вычитание:

$\frac{12m^2 - (12m^2 + 1)}{2m} = \frac{12m^2 - 12m^2 - 1}{2m} = \frac{-1}{2m}$

Ответ: $-\frac{1}{2m}$

8) Общий знаменатель равен $2b-1$. Приведем $10b$ к этому знаменателю.

$\frac{20b^2 + 5}{2b - 1} - 10b = \frac{20b^2 + 5}{2b - 1} - \frac{10b(2b-1)}{2b-1}$

Выполним вычитание, раскрыв скобки в числителе второй дроби:

$\frac{(20b^2 + 5) - (20b^2 - 10b)}{2b - 1} = \frac{20b^2 + 5 - 20b^2 + 10b}{2b - 1}$

Упростим числитель:

$\frac{10b + 5}{2b - 1}$

Можно вынести общий множитель $5$ в числителе:

$\frac{5(2b + 1)}{2b - 1}$

Ответ: $\frac{5(2b + 1)}{2b - 1}$