Номер 103, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 103, страница 27.

Условие.

103. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{a}{a-b} + \frac{a}{b}$

2) $\frac{4}{x} - \frac{5x+4}{x+2}$

3) $\frac{b}{b-2} - \frac{2}{b+2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы представить выражение $\frac{a}{a-b} + \frac{a}{b}$ в виде дроби, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для данных дробей — это произведение их знаменателей, то есть $b(a-b)$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $b$, а второй дроби — на $(a-b)$:

$\frac{a}{a-b} + \frac{a}{b} = \frac{a \cdot b}{b(a-b)} + \frac{a \cdot (a-b)}{b(a-b)}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{ab + a(a-b)}{b(a-b)} = \frac{ab + a^2 - ab}{b(a-b)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2}{b(a-b)}$

Ответ: $\frac{a^2}{b(a-b)}$

2) Чтобы представить выражение $\frac{4}{x} - \frac{5x+4}{x+2}$ в виде дроби, найдем общий знаменатель. Общим знаменателем для дробей $\frac{4}{x}$ и $\frac{5x+4}{x+2}$ является их произведение $x(x+2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x+2)$, для второй — $x$:

$\frac{4}{x} - \frac{5x+4}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x(x+2)} - \frac{x(5x+4)}{x(x+2)}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого из числителя первой дроби вычтем числитель второй:

$\frac{4(x+2) - x(5x+4)}{x(x+2)} = \frac{4x+8 - (5x^2+4x)}{x(x+2)} = \frac{4x+8 - 5x^2 - 4x}{x(x+2)}$

Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые:

$\frac{8 - 5x^2}{x(x+2)}$

Ответ: $\frac{8 - 5x^2}{x(x+2)}$

3) Чтобы представить выражение $\frac{b}{b-2} - \frac{2}{b+2}$ в виде дроби, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели $(b-2)$ и $(b+2)$ являются сопряженными выражениями. Их произведение равно разности квадратов: $(b-2)(b+2) = b^2 - 4$. Это и будет общим знаменателем.

Умножим первую дробь на дополнительный множитель $(b+2)$, а вторую — на $(b-2)$:

$\frac{b}{b-2} - \frac{2}{b+2} = \frac{b(b+2)}{(b-2)(b+2)} - \frac{2(b-2)}{(b-2)(b+2)}$

Теперь выполним вычитание числителей, оставив общий знаменатель без изменений:

$\frac{b(b+2) - 2(b-2)}{b^2-4} = \frac{b^2+2b - (2b-4)}{b^2-4} = \frac{b^2+2b - 2b+4}{b^2-4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{b^2+4}{b^2-4}$

Ответ: $\frac{b^2+4}{b^2-4}$