Номер 1, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 1, страница 26.

Условие.

1. Как выполнить сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями?

Решение 2.

Решение 8.

1. Чтобы выполнить сложение или вычитание рациональных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого следует выполнить несколько шагов, которые мы рассмотрим в виде алгоритма.

Алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Шаг 1: Разложить знаменатели на множители

В первую очередь необходимо разложить знаменатель каждой дроби на простые множители (для многочленов — на неразложимые многочлены). Это ключевой шаг для нахождения наименьшего общего знаменателя.

Пример: Выполним вычитание дробей $\frac{x+12}{x^2-16} - \frac{6}{x^2+4x}$.

Разложим знаменатели на множители:

Знаменатель первой дроби: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ (как разность квадратов).

Знаменатель второй дроби: $x^2 + 4x = x(x+4)$ (вынесение общего множителя за скобки).

Шаг 2: Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ)

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это произведение всех уникальных множителей из разложений всех знаменателей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются.

Пример: Наши знаменатели — $(x-4)(x+4)$ и $x(x+4)$.

НОЗ будет содержать все множители: $x$, $(x-4)$ и $(x+4)$. Таким образом, НОЗ = $x(x-4)(x+4)$.

Шаг 3: Найти дополнительные множители для каждой дроби

Дополнительный множитель для каждой дроби — это выражение, на которое нужно умножить её числитель и знаменатель, чтобы в знаменателе получился НОЗ. Его находят, разделив НОЗ на знаменатель данной дроби.

Пример:

Для первой дроби $\frac{x+12}{(x-4)(x+4)}$ дополнительный множитель: $\frac{x(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+4)} = x$.

Для второй дроби $\frac{6}{x(x+4)}$ дополнительный множитель: $\frac{x(x-4)(x+4)}{x(x+4)} = x-4$.

Шаг 4: Привести дроби к общему знаменателю

Умножьте числитель каждой дроби на её дополнительный множитель. Знаменателем для всех дробей станет НОЗ.

Пример:

$\frac{x+12}{(x-4)(x+4)} - \frac{6}{x(x+4)} = \frac{(x+12) \cdot x}{x(x-4)(x+4)} - \frac{6 \cdot (x-4)}{x(x-4)(x+4)}$

Шаг 5: Выполнить сложение или вычитание числителей

Сложите или вычтите полученные числители, записав результат над общим знаменателем. Очень важно быть внимательным со знаками, особенно при вычитании (рекомендуется брать вычитаемый числитель в скобки).

Пример:

$\frac{x(x+12) - 6(x-4)}{x(x-4)(x+4)}$

Шаг 6: Упростить полученный числитель и сократить дробь (если возможно)

Раскройте скобки в числителе и приведите подобные слагаемые. Затем, если возможно, разложите полученный в числителе многочлен на множители и сократите дробь, если в числителе и знаменателе есть одинаковые множители.

Пример:

1. Упростим числитель: $x(x+12) - 6(x-4) = x^2 + 12x - 6x + 24 = x^2 + 6x + 24$.

2. Запишем итоговую дробь: $\frac{x^2+6x+24}{x(x-4)(x+4)}$.

3. Проверим, можно ли сократить. Дискриминант числителя $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 36 - 96 = -60 < 0$, значит, многочлен $x^2+6x+24$ на множители не раскладывается и общих множителей со знаменателем не имеет. Дробь является окончательным результатом.

Ответ: Для выполнения сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями необходимо: 1) разложить знаменатели дробей на множители; 2) найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ); 3) определить для каждой дроби дополнительный множитель (путем деления НОЗ на ее знаменатель); 4) умножить числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель; 5) выполнить сложение или вычитание полученных числителей, оставив общий знаменатель без изменений; 6) упростить выражение в числителе и, если возможно, сократить итоговую дробь.