Номер 95, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 95, страница 24.

Условие.

95. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы выполнялось равенство:

1) $*\cdot (a - b) = (a + b)(a - b)^2$;

2) $(a + 10b) \cdot * = a^3 - 100ab^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти многочлен, заменяющий звёздочку в равенстве $* \cdot (a - b) = (a + b)(a - b)^2$, необходимо выразить звёздочку (*). Для этого разделим правую часть уравнения на множитель $(a - b)$, предполагая, что $a \neq b$.

$* = \frac{(a + b)(a - b)^2}{a - b}$

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель $(a - b)$:

$* = (a + b)(a - b)$

Далее применяем формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$* = a^2 - b^2$

Ответ: $a^2 - b^2$

2) В равенстве $(a + 10b) \cdot * = a^3 - 100ab^2$ найдём соответствующий многочлен. Выразим звёздочку (*), разделив правую часть уравнения на множитель $(a + 10b)$, предполагая, что $a + 10b \neq 0$.

$* = \frac{a^3 - 100ab^2}{a + 10b}$

Для упрощения дроби разложим на множители её числитель. Сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a^3 - 100ab^2 = a(a^2 - 100b^2)$

Выражение в скобках — это разность квадратов, так как $100b^2 = (10b)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^2 - 100b^2 = a^2 - (10b)^2 = (a - 10b)(a + 10b)$

Таким образом, числитель равен $a(a - 10b)(a + 10b)$. Подставим это в выражение для звёздочки:

$* = \frac{a(a - 10b)(a + 10b)}{a + 10b}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(a + 10b)$:

$* = a(a - 10b)$

Чтобы получить многочлен в стандартном виде, раскроем скобки:

$* = a^2 - 10ab$

Ответ: $a^2 - 10ab$