Страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

94. Вместо звёздочки запишите такой одночлен, чтобы выполнялось равенство:

1) $a^2b \cdot * = a^2b^2;$

2) $5xy^3 \cdot * = 10x^4y^6;$

3) $6x^5 \cdot * = 12x^{10}.$

1) Чтобы найти искомый одночлен, необходимо разделить произведение ($a^2b^2$) на известный множитель ($a^2b$). Обозначим искомый одночлен символом *.
$* = \frac{a^2b^2}{a^2b}$
Применяя правило деления степеней с одинаковыми основаниями ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $), получаем:
$* = a^{2-2}b^{2-1} = a^0b^1$
Поскольку любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$), а любое число в первой степени равно самому себе ($b^1=b$), то:
$* = 1 \cdot b = b$
Проверка: $a^2b \cdot b = a^2b^{1+1} = a^2b^2$. Равенство выполняется.
Ответ: $b$

2) Аналогично первому пункту, находим неизвестный одночлен делением произведения ($10x^4y^6$) на известный множитель ($5xy^3$):
$* = \frac{10x^4y^6}{5xy^3}$
Разделим числовые коэффициенты и степени переменных отдельно:
Коэффициенты: $\frac{10}{5} = 2$
Переменная $x$: $\frac{x^4}{x^1} = x^{4-1} = x^3$
Переменная $y$: $\frac{y^6}{y^3} = y^{6-3} = y^3$
Соединив результаты, получаем искомый одночлен:
$* = 2x^3y^3$
Проверка: $5xy^3 \cdot (2x^3y^3) = (5 \cdot 2)(x \cdot x^3)(y^3 \cdot y^3) = 10x^{1+3}y^{3+3} = 10x^4y^6$. Равенство выполняется.
Ответ: $2x^3y^3$

3) Находим неизвестный множитель, разделив произведение ($12x^{10}$) на известный множитель ($6x^5$):
$* = \frac{12x^{10}}{6x^5}$
Разделим коэффициенты и степени переменных отдельно:
Коэффициенты: $\frac{12}{6} = 2$
Переменная $x$: $\frac{x^{10}}{x^5} = x^{10-5} = x^5$
Искомый одночлен:
$* = 2x^5$
Проверка: $6x^5 \cdot (2x^5) = (6 \cdot 2)(x^5 \cdot x^5) = 12x^{5+5} = 12x^{10}$. Равенство выполняется.
Ответ: $2x^5$

95. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы выполнялось равенство:

1) $*\cdot (a - b) = (a + b)(a - b)^2$;

2) $(a + 10b) \cdot * = a^3 - 100ab^2$.

1) Чтобы найти многочлен, заменяющий звёздочку в равенстве $* \cdot (a - b) = (a + b)(a - b)^2$, необходимо выразить звёздочку (*). Для этого разделим правую часть уравнения на множитель $(a - b)$, предполагая, что $a \neq b$.

$* = \frac{(a + b)(a - b)^2}{a - b}$

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель $(a - b)$:

$* = (a + b)(a - b)$

Далее применяем формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$* = a^2 - b^2$

Ответ: $a^2 - b^2$

2) В равенстве $(a + 10b) \cdot * = a^3 - 100ab^2$ найдём соответствующий многочлен. Выразим звёздочку (*), разделив правую часть уравнения на множитель $(a + 10b)$, предполагая, что $a + 10b \neq 0$.

$* = \frac{a^3 - 100ab^2}{a + 10b}$

Для упрощения дроби разложим на множители её числитель. Сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a^3 - 100ab^2 = a(a^2 - 100b^2)$

Выражение в скобках — это разность квадратов, так как $100b^2 = (10b)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^2 - 100b^2 = a^2 - (10b)^2 = (a - 10b)(a + 10b)$

Таким образом, числитель равен $a(a - 10b)(a + 10b)$. Подставим это в выражение для звёздочки:

$* = \frac{a(a - 10b)(a + 10b)}{a + 10b}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(a + 10b)$:

$* = a(a - 10b)$

Чтобы получить многочлен в стандартном виде, раскроем скобки:

$* = a^2 - 10ab$

Ответ: $a^2 - 10ab$

96. Приведите к общему знаменателю дроби:

1) $\frac{1}{3a}$ и $\frac{2}{3b}$;

2) $\frac{4m}{p^3q^2}$ и $\frac{3n}{p^2q^3}$;

3) $\frac{5}{m-n}$ и $\frac{6}{m+n}$;

4) $\frac{6x}{x-2y}$ и $\frac{y}{x+y}$;

5) $\frac{y}{6y-36}$ и $\frac{1}{y^2-6y}$;

6) $\frac{1}{a^2-1}$ и $\frac{1}{a^2+a}$.

1) Даны дроби $\frac{1}{3a}$ и $\frac{2}{3b}$.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей $3a$ и $3b$.
Общий числовой коэффициент — 3. Переменные части — $a$ и $b$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению числового коэффициента и всех переменных, то есть НОЗ = $3ab$.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{3ab}{3a} = b$.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$:
$\frac{1}{3a} = \frac{1 \cdot b}{3a \cdot b} = \frac{b}{3ab}$.
Найдем дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{3ab}{3b} = a$.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $a$:
$\frac{2}{3b} = \frac{2 \cdot a}{3b \cdot a} = \frac{2a}{3ab}$.
Ответ: $\frac{b}{3ab}$ и $\frac{2a}{3ab}$.

2) Даны дроби $\frac{4m}{p^3q^2}$ и $\frac{3n}{p^2q^3}$.
Знаменатели дробей: $p^3q^2$ и $p^2q^3$.
Для нахождения НОЗ берем каждую переменную в наибольшей степени, в которой она встречается в знаменателях. Для $p$ это $p^3$, для $q$ это $q^3$.
Следовательно, НОЗ = $p^3q^3$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{p^3q^3}{p^3q^2} = q$.
$\frac{4m}{p^3q^2} = \frac{4m \cdot q}{p^3q^2 \cdot q} = \frac{4mq}{p^3q^3}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{p^3q^3}{p^2q^3} = p$.
$\frac{3n}{p^2q^3} = \frac{3n \cdot p}{p^2q^3 \cdot p} = \frac{3np}{p^3q^3}$.
Ответ: $\frac{4mq}{p^3q^3}$ и $\frac{3np}{p^3q^3}$.

3) Даны дроби $\frac{5}{m-n}$ и $\frac{6}{m+n}$.
Знаменатели $(m-n)$ и $(m+n)$ — это два разных сопряженных выражения. Общий знаменатель будет их произведением.
НОЗ = $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $m+n$.
$\frac{5}{m-n} = \frac{5 \cdot (m+n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{5m+5n}{m^2-n^2}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $m-n$.
$\frac{6}{m+n} = \frac{6 \cdot (m-n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{6m-6n}{m^2-n^2}$.
Ответ: $\frac{5m+5n}{m^2-n^2}$ и $\frac{6m-6n}{m^2-n^2}$.

4) Даны дроби $\frac{6x}{x-2y}$ и $\frac{y}{x+y}$.
Знаменатели $(x-2y)$ и $(x+y)$ являются различными многочленами. Общий знаменатель равен их произведению.
НОЗ = $(x-2y)(x+y)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $x+y$.
$\frac{6x}{x-2y} = \frac{6x(x+y)}{(x-2y)(x+y)} = \frac{6x^2+6xy}{(x-2y)(x+y)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $x-2y$.
$\frac{y}{x+y} = \frac{y(x-2y)}{(x+y)(x-2y)} = \frac{xy-2y^2}{(x-2y)(x+y)}$.
Ответ: $\frac{6x^2+6xy}{(x-2y)(x+y)}$ и $\frac{xy-2y^2}{(x-2y)(x+y)}$.

5) Даны дроби $\frac{y}{6y-36}$ и $\frac{1}{y^2-6y}$.
Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общие части.
Знаменатель первой дроби: $6y-36 = 6(y-6)$.
Знаменатель второй дроби: $y^2-6y = y(y-6)$.
НОЗ должен включать все уникальные множители: $6$, $y$ и $(y-6)$.
НОЗ = $6y(y-6)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{6y(y-6)}{6(y-6)} = y$.
$\frac{y}{6(y-6)} = \frac{y \cdot y}{6y(y-6)} = \frac{y^2}{6y(y-6)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{6y(y-6)}{y(y-6)} = 6$.
$\frac{1}{y(y-6)} = \frac{1 \cdot 6}{6y(y-6)} = \frac{6}{6y(y-6)}$.
Ответ: $\frac{y^2}{6y(y-6)}$ и $\frac{6}{6y(y-6)}$.

6) Даны дроби $\frac{1}{a^2-1}$ и $\frac{1}{a^2+a}$.
Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби (разность квадратов): $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.
Знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя): $a^2+a = a(a+1)$.
Общий множитель для обоих знаменателей — $(a+1)$. Уникальные множители — $(a-1)$ и $a$.
НОЗ равен произведению всех уникальных и общих множителей: $a(a-1)(a+1)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{a(a-1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} = a$.
$\frac{1}{(a-1)(a+1)} = \frac{1 \cdot a}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a}{a(a-1)(a+1)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{a(a-1)(a+1)}{a(a+1)} = a-1$.
$\frac{1}{a(a+1)} = \frac{1 \cdot (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a-1}{a(a-1)(a+1)}$.
Ответ: $\frac{a}{a(a-1)(a+1)}$ и $\frac{a-1}{a(a-1)(a+1)}$.

97. Может ли чётное число иметь нечётных делителей больше, чем чётных?

Нет, чётное число не может иметь нечётных делителей больше, чем чётных. Вот подробное объяснение почему.

Любое чётное число $N$ по определению делится на 2. Это означает, что в его разложении на простые множители присутствует 2 в какой-то степени $k$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 1$). Таким образом, любое чётное число $N$ можно представить в виде:

$N = 2^k \cdot m$

где $m$ — нечётное число (произведение всех нечётных простых множителей числа $N$).

Рассмотрим все делители числа $N$. Их можно разделить на две группы: нечётные и чётные.

Нечётные делители числа $N$ — это те его делители, которые не делятся на 2. Это возможно только в том случае, если в их разложении на простые множители отсутствует двойка. Следовательно, все нечётные делители числа $N$ являются делителями его нечётной части $m$. Пусть количество таких делителей равно $C_{нечет}$.

Чётные делители числа $N$ — это те его делители, которые делятся на 2. Любой чётный делитель можно получить, взяв нечётный делитель (то есть один из делителей числа $m$) и умножив его на $2^a$, где $a$ — целое число от 1 до $k$. Для каждого из $C_{нечет}$ нечётных делителей существует ровно $k$ различных чётных делителей (полученных умножением на $2^1, 2^2, \ldots, 2^k$). Таким образом, общее количество чётных делителей $C_{чет}$ составляет:

$C_{чет} = k \cdot C_{нечет}$

Вопрос заключается в том, может ли количество нечётных делителей быть больше количества чётных: $C_{нечет} > C_{чет}$?

Подставим в это неравенство выражение для $C_{чет}$:

$C_{нечет} > k \cdot C_{нечет}$

Поскольку любое число (включая $m$) имеет хотя бы один делитель (число 1), количество нечётных делителей $C_{нечет}$ всегда строго больше нуля ($C_{нечет} \ge 1$). Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $C_{нечет}$:

$1 > k$

Это неравенство противоречит нашему исходному условию, что для чётного числа $N = 2^k \cdot m$ показатель степени $k$ должен быть натуральным числом, то есть $k \ge 1$.

Таким образом, предположение неверно. Количество чётных делителей у чётного числа всегда больше или равно количеству нечётных делителей.

Ответ: Нет, не может.