Страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как выполнить сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями?

1. Чтобы выполнить сложение или вычитание рациональных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого следует выполнить несколько шагов, которые мы рассмотрим в виде алгоритма.

Алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Шаг 1: Разложить знаменатели на множители

В первую очередь необходимо разложить знаменатель каждой дроби на простые множители (для многочленов — на неразложимые многочлены). Это ключевой шаг для нахождения наименьшего общего знаменателя.

Пример: Выполним вычитание дробей $\frac{x+12}{x^2-16} - \frac{6}{x^2+4x}$.

Разложим знаменатели на множители:

Знаменатель первой дроби: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ (как разность квадратов).

Знаменатель второй дроби: $x^2 + 4x = x(x+4)$ (вынесение общего множителя за скобки).

Шаг 2: Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ)

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это произведение всех уникальных множителей из разложений всех знаменателей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются.

Пример: Наши знаменатели — $(x-4)(x+4)$ и $x(x+4)$.

НОЗ будет содержать все множители: $x$, $(x-4)$ и $(x+4)$. Таким образом, НОЗ = $x(x-4)(x+4)$.

Шаг 3: Найти дополнительные множители для каждой дроби

Дополнительный множитель для каждой дроби — это выражение, на которое нужно умножить её числитель и знаменатель, чтобы в знаменателе получился НОЗ. Его находят, разделив НОЗ на знаменатель данной дроби.

Пример:

Для первой дроби $\frac{x+12}{(x-4)(x+4)}$ дополнительный множитель: $\frac{x(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+4)} = x$.

Для второй дроби $\frac{6}{x(x+4)}$ дополнительный множитель: $\frac{x(x-4)(x+4)}{x(x+4)} = x-4$.

Шаг 4: Привести дроби к общему знаменателю

Умножьте числитель каждой дроби на её дополнительный множитель. Знаменателем для всех дробей станет НОЗ.

Пример:

$\frac{x+12}{(x-4)(x+4)} - \frac{6}{x(x+4)} = \frac{(x+12) \cdot x}{x(x-4)(x+4)} - \frac{6 \cdot (x-4)}{x(x-4)(x+4)}$

Шаг 5: Выполнить сложение или вычитание числителей

Сложите или вычтите полученные числители, записав результат над общим знаменателем. Очень важно быть внимательным со знаками, особенно при вычитании (рекомендуется брать вычитаемый числитель в скобки).

Пример:

$\frac{x(x+12) - 6(x-4)}{x(x-4)(x+4)}$

Шаг 6: Упростить полученный числитель и сократить дробь (если возможно)

Раскройте скобки в числителе и приведите подобные слагаемые. Затем, если возможно, разложите полученный в числителе многочлен на множители и сократите дробь, если в числителе и знаменателе есть одинаковые множители.

Пример:

1. Упростим числитель: $x(x+12) - 6(x-4) = x^2 + 12x - 6x + 24 = x^2 + 6x + 24$.

2. Запишем итоговую дробь: $\frac{x^2+6x+24}{x(x-4)(x+4)}$.

3. Проверим, можно ли сократить. Дискриминант числителя $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 36 - 96 = -60 < 0$, значит, многочлен $x^2+6x+24$ на множители не раскладывается и общих множителей со знаменателем не имеет. Дробь является окончательным результатом.

Ответ: Для выполнения сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями необходимо: 1) разложить знаменатели дробей на множители; 2) найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ); 3) определить для каждой дроби дополнительный множитель (путем деления НОЗ на ее знаменатель); 4) умножить числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель; 5) выполнить сложение или вычитание полученных числителей, оставив общий знаменатель без изменений; 6) упростить выражение в числителе и, если возможно, сократить итоговую дробь.

2. Что является суммой и разностью двух рациональных дробей?

Рациональной дробью называется выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — это многочлены, причем многочлен $Q$ не равен нулю.

Чтобы определить, что является суммой и разностью двух рациональных дробей, рассмотрим две дроби в общем виде: $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$. Здесь $A$, $B$, $C$ и $D$ — многочлены, причем знаменатели $B$ и $D$ не являются нулевыми многочленами.

Сумма рациональных дробей

Для сложения дробей их нужно привести к общему знаменателю. Простейшим общим знаменателем является произведение исходных знаменателей, то есть $B \cdot D$. Для этого числитель и знаменатель первой дроби домножаются на $D$, а второй — на $B$. Формула сложения выглядит следующим образом:

$$ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D} + \frac{C \cdot B}{B \cdot D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D} $$

Проанализируем результат. Числитель полученной дроби, $A \cdot D + C \cdot B$, является многочленом, так как и произведение, и сумма многочленов всегда дают в результате многочлен. Знаменатель, $B \cdot D$, также является многочленом. Поскольку $B$ и $D$ — ненулевые многочлены, их произведение $B \cdot D$ также не равно нулю. Таким образом, сумма двух рациональных дробей — это дробь, у которой и числитель, и знаменатель являются многочленами, то есть это рациональная дробь.

Разность рациональных дробей

Вычитание дробей выполняется по аналогии со сложением, с приведением к тому же общему знаменателю $B \cdot D$:

$$ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D} - \frac{C \cdot B}{B \cdot D} = \frac{A \cdot D - C \cdot B}{B \cdot D} $$

Проанализируем этот результат. Числитель $A \cdot D - C \cdot B$ является многочленом, поскольку многочлены замкнуты относительно операций умножения и вычитания. Знаменатель $B \cdot D$ — это тот же самый ненулевой многочлен. Следовательно, разность двух рациональных дробей также всегда является рациональной дробью.

Ответ: Суммой и разностью двух рациональных дробей является рациональная дробь.

98. Выполните действия:

1) $\frac{x}{4} + \frac{2x}{3}$;

2) $\frac{5b}{14} - \frac{b}{7}$;

3) $\frac{m}{8} - \frac{n}{6}$;

4) $\frac{4}{x} - \frac{3}{y}$;

5) $\frac{m}{4n} + \frac{m}{6n}$;

6) $\frac{c}{b} - \frac{d}{3b}$;

7) $\frac{a}{b^2} + \frac{1}{ab^4}$;

8) $\frac{11}{5a} - \frac{2c}{15ab}$;

9) $\frac{m}{abc} + \frac{c}{abm}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{x}{4}$ и $\frac{2x}{3}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 — это 12. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 4.

$\frac{x}{4} + \frac{2x}{3} = \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{2x \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3x}{12} + \frac{8x}{12}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно сложить числители:

$\frac{3x + 8x}{12} = \frac{11x}{12}$

Ответ: $\frac{11x}{12}$

2) Чтобы вычесть дробь $\frac{b}{7}$ из дроби $\frac{5b}{14}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 7 — это 14. Первая дробь уже имеет этот знаменатель. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2.

$\frac{5b}{14} - \frac{b}{7} = \frac{5b}{14} - \frac{b \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{5b}{14} - \frac{2b}{14}$

Теперь вычтем числители:

$\frac{5b - 2b}{14} = \frac{3b}{14}$

Ответ: $\frac{3b}{14}$

3) Для вычитания дробей $\frac{m}{8}$ и $\frac{n}{6}$ найдем наименьший общий знаменатель для 8 и 6. НОК(8, 6) = 24. Умножим первую дробь на 3, а вторую на 4.

$\frac{m}{8} - \frac{n}{6} = \frac{m \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{n \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{3m}{24} - \frac{4n}{24}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{3m - 4n}{24}$

Ответ: $\frac{3m - 4n}{24}$

4) Для вычитания дробей $\frac{4}{x}$ и $\frac{3}{y}$ общим знаменателем будет произведение знаменателей $xy$. Умножим первую дробь на $y$, а вторую на $x$.

$\frac{4}{x} - \frac{3}{y} = \frac{4 \cdot y}{x \cdot y} - \frac{3 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{4y}{xy} - \frac{3x}{xy}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{4y - 3x}{xy}$

Ответ: $\frac{4y - 3x}{xy}$

5) Чтобы сложить дроби $\frac{m}{4n}$ и $\frac{m}{6n}$, найдем наименьший общий знаменатель для $4n$ и $6n$. НОК(4, 6) = 12, значит, общий знаменатель будет $12n$. Умножим первую дробь на 3, а вторую на 2.

$\frac{m}{4n} + \frac{m}{6n} = \frac{m \cdot 3}{4n \cdot 3} + \frac{m \cdot 2}{6n \cdot 2} = \frac{3m}{12n} + \frac{2m}{12n}$

Сложим числители:

$\frac{3m + 2m}{12n} = \frac{5m}{12n}$

Ответ: $\frac{5m}{12n}$

6) Для вычитания дробей $\frac{c}{b}$ и $\frac{d}{3b}$ общим знаменателем будет $3b$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3.

$\frac{c}{b} - \frac{d}{3b} = \frac{c \cdot 3}{b \cdot 3} - \frac{d}{3b} = \frac{3c}{3b} - \frac{d}{3b}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{3c - d}{3b}$

Ответ: $\frac{3c - d}{3b}$

7) Чтобы сложить дроби $\frac{a}{b^2}$ и $\frac{1}{ab^4}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Для $b^2$ и $ab^4$ наименьшим общим знаменателем является $ab^4$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ab^2$.

$\frac{a}{b^2} + \frac{1}{ab^4} = \frac{a \cdot ab^2}{b^2 \cdot ab^2} + \frac{1}{ab^4} = \frac{a^2b^2}{ab^4} + \frac{1}{ab^4}$

Сложим числители:

$\frac{a^2b^2 + 1}{ab^4}$

Ответ: $\frac{a^2b^2 + 1}{ab^4}$

8) Для вычитания дробей $\frac{11}{5a}$ и $\frac{2c}{15ab}$ найдем наименьший общий знаменатель. Для $5a$ и $15ab$ наименьшим общим знаменателем является $15ab$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $3b$.

$\frac{11}{5a} - \frac{2c}{15ab} = \frac{11 \cdot 3b}{5a \cdot 3b} - \frac{2c}{15ab} = \frac{33b}{15ab} - \frac{2c}{15ab}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{33b - 2c}{15ab}$

Ответ: $\frac{33b - 2c}{15ab}$

9) Чтобы сложить дроби $\frac{m}{abc}$ и $\frac{c}{abm}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Для $abc$ и $abm$ наименьшим общим знаменателем является $abcm$. Умножим первую дробь на $m$, а вторую на $c$.

$\frac{m}{abc} + \frac{c}{abm} = \frac{m \cdot m}{abc \cdot m} + \frac{c \cdot c}{abm \cdot c} = \frac{m^2}{abcm} + \frac{c^2}{abcm}$

Сложим числители:

$\frac{m^2 + c^2}{abcm}$

Ответ: $\frac{m^2 + c^2}{abcm}$

99. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{x}{8} - \frac{y}{12}$;

2) $\frac{4a}{7} + \frac{a}{4}$;

3) $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$;

4) $\frac{x^2}{2y} + \frac{y}{8x}$;

5) $\frac{7}{cd} + \frac{k}{cp}$;

6) $\frac{6a}{35c^5} - \frac{9b}{14c^2}$.

1) Чтобы вычесть дроби $\frac{x}{8}$ и $\frac{y}{12}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 12 — это 24.
Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 8 = 3$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 12 = 2$.
Получаем:
$\frac{x}{8} - \frac{y}{12} = \frac{3 \cdot x}{3 \cdot 8} - \frac{2 \cdot y}{2 \cdot 12} = \frac{3x}{24} - \frac{2y}{24} = \frac{3x - 2y}{24}$.
Ответ: $\frac{3x - 2y}{24}$

2) Для сложения дробей $\frac{4a}{7}$ и $\frac{a}{4}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 7 и 4 — это $7 \cdot 4 = 28$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $28 \div 7 = 4$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $28 \div 4 = 7$.
Выполним сложение:
$\frac{4a}{7} + \frac{a}{4} = \frac{4 \cdot 4a}{4 \cdot 7} + \frac{7 \cdot a}{7 \cdot 4} = \frac{16a}{28} + \frac{7a}{28} = \frac{16a + 7a}{28} = \frac{23a}{28}$.
Ответ: $\frac{23a}{28}$

3) Чтобы выполнить вычитание $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$, приведем дроби к общему знаменателю $mn$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $m$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $n$.
Получаем:
$\frac{m}{n} - \frac{n}{m} = \frac{m \cdot m}{m \cdot n} - \frac{n \cdot n}{n \cdot m} = \frac{m^2}{mn} - \frac{n^2}{mn} = \frac{m^2 - n^2}{mn}$.
Ответ: $\frac{m^2 - n^2}{mn}$

4) Для сложения дробей $\frac{x^2}{2y}$ и $\frac{y}{8x}$ найдем наименьший общий знаменатель.
Для чисел 2 и 8 наименьшее общее кратное — 8.
Для переменных $y$ и $x$ — это $xy$.
Таким образом, общий знаменатель — $8xy$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $8xy \div (2y) = 4x$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $8xy \div (8x) = y$.
Выполним сложение:
$\frac{x^2}{2y} + \frac{y}{8x} = \frac{4x \cdot x^2}{4x \cdot 2y} + \frac{y \cdot y}{y \cdot 8x} = \frac{4x^3}{8xy} + \frac{y^2}{8xy} = \frac{4x^3 + y^2}{8xy}$.
Ответ: $\frac{4x^3 + y^2}{8xy}$

5) Для сложения дробей $\frac{7}{cd}$ и $\frac{k}{cp}$ найдем общий знаменатель. Он равен $cdp$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $p$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $d$.
Получаем:
$\frac{7}{cd} + \frac{k}{cp} = \frac{7 \cdot p}{cd \cdot p} + \frac{k \cdot d}{cp \cdot d} = \frac{7p}{cdp} + \frac{kd}{cdp} = \frac{7p + kd}{cdp}$.
Ответ: $\frac{7p + kd}{cdp}$

6) Чтобы вычесть дроби $\frac{6a}{35c^5}$ и $\frac{9b}{14c^2}$, найдем наименьший общий знаменатель.
Наименьшее общее кратное для чисел 35 и 14: $35 = 5 \cdot 7$, $14 = 2 \cdot 7$. НОК(35, 14) = $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.
Для степеней переменной $c$ ($c^5$ и $c^2$) берем старшую степень: $c^5$.
Общий знаменатель: $70c^5$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $70c^5 \div (35c^5) = 2$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $70c^5 \div (14c^2) = 5c^3$.
Выполним вычитание:
$\frac{6a}{35c^5} - \frac{9b}{14c^2} = \frac{2 \cdot 6a}{2 \cdot 35c^5} - \frac{5c^3 \cdot 9b}{5c^3 \cdot 14c^2} = \frac{12a}{70c^5} - \frac{45bc^3}{70c^5} = \frac{12a - 45bc^3}{70c^5}$.
Ответ: $\frac{12a - 45bc^3}{70c^5}$

100. Упростите выражение:

1) $ \frac{a+7}{12} + \frac{a-4}{9} $;

2) $ \frac{2b-7c}{6} - \frac{3b+2c}{15} $;

3) $ \frac{3x-2}{x} - \frac{3y-1}{y} $;

4) $ \frac{6p+1}{p} - \frac{2p+8}{3p} $;

5) $ \frac{5m-n}{14m} - \frac{m-6n}{7m} $;

6) $ \frac{x+4}{11x} - \frac{y-3}{11y} $;

7) $ \frac{a+b}{ab} + \frac{a-c}{ac} $;

8) $ \frac{2}{p^2} + \frac{p-1}{p} $;

9) $ \frac{k+4}{k} - \frac{3k-4}{k^2} $;

10) $ \frac{x-y}{x^3} - \frac{y-x^2}{x^2y} $;

11) $ \frac{2m-3n}{m^2n} + \frac{7m-2n}{mn^2} $;

12) $ \frac{c+d}{cd^4} - \frac{c^2-8d}{c^3d^3} $;

1) Чтобы сложить дроби $\frac{a+7}{12}$ и $\frac{a-4}{9}$, найдем их наименьший общий знаменатель (НОЗ). НОЗ для 12 и 9 равен 36.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 3 ($\frac{36}{12}=3$), а второй дроби — на 4 ($\frac{36}{9}=4$):
$\frac{a+7}{12} + \frac{a-4}{9} = \frac{3 \cdot (a+7)}{36} + \frac{4 \cdot (a-4)}{36} = \frac{3(a+7) + 4(a-4)}{36}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{3a + 21 + 4a - 16}{36} = \frac{(3a+4a) + (21-16)}{36} = \frac{7a+5}{36}$
Ответ: $\frac{7a+5}{36}$

2) Чтобы вычесть дроби $\frac{2b-7c}{6}$ и $\frac{3b+2c}{15}$, найдем их НОЗ. НОЗ для 6 и 15 равен 30.
Дополнительный множитель для первой дроби — 5 ($\frac{30}{6}=5$), для второй — 2 ($\frac{30}{15}=2$):
$\frac{2b-7c}{6} - \frac{3b+2c}{15} = \frac{5(2b-7c)}{30} - \frac{2(3b+2c)}{30} = \frac{5(2b-7c) - 2(3b+2c)}{30}$
Раскроем скобки в числителе, учитывая знак минус перед второй дробью:
$\frac{10b - 35c - 6b - 4c}{30} = \frac{(10b-6b) + (-35c-4c)}{30} = \frac{4b-39c}{30}$
Ответ: $\frac{4b-39c}{30}$

3) Выполним вычитание дробей $\frac{3x-2}{x} - \frac{3y-1}{y}$. Общий знаменатель — $xy$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $x$:
$\frac{y(3x-2)}{xy} - \frac{x(3y-1)}{xy} = \frac{y(3x-2) - x(3y-1)}{xy}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{3xy - 2y - 3xy + x}{xy} = \frac{(3xy-3xy) + x - 2y}{xy} = \frac{x-2y}{xy}$
Ответ: $\frac{x-2y}{xy}$

4) Упростим выражение $\frac{6p+1}{p} - \frac{2p+8}{3p}$. Общий знаменатель — $3p$.
Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 1:
$\frac{3(6p+1)}{3p} - \frac{1(2p+8)}{3p} = \frac{3(6p+1) - (2p+8)}{3p}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{18p + 3 - 2p - 8}{3p} = \frac{(18p-2p) + (3-8)}{3p} = \frac{16p-5}{3p}$
Ответ: $\frac{16p-5}{3p}$

5) Упростим выражение $\frac{5m-n}{14m} - \frac{m-6n}{7m}$. Общий знаменатель — $14m$.
Дополнительный множитель для второй дроби — 2 ($\frac{14m}{7m}=2$):
$\frac{5m-n}{14m} - \frac{2(m-6n)}{14m} = \frac{(5m-n) - 2(m-6n)}{14m}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\frac{5m - n - 2m + 12n}{14m} = \frac{(5m-2m) + (-n+12n)}{14m} = \frac{3m+11n}{14m}$
Ответ: $\frac{3m+11n}{14m}$

6) Упростим выражение $\frac{x+4}{11x} - \frac{y-3}{11y}$. Общий знаменатель — $11xy$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $x$:
$\frac{y(x+4)}{11xy} - \frac{x(y-3)}{11xy} = \frac{y(x+4) - x(y-3)}{11xy}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{xy + 4y - xy + 3x}{11xy} = \frac{(xy-xy) + 3x + 4y}{11xy} = \frac{3x+4y}{11xy}$
Ответ: $\frac{3x+4y}{11xy}$

7) Упростим выражение $\frac{a+b}{ab} + \frac{a-c}{ac}$. Общий знаменатель — $abc$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $b$:
$\frac{c(a+b)}{abc} + \frac{b(a-c)}{abc} = \frac{c(a+b) + b(a-c)}{abc}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{ac + bc + ab - bc}{abc} = \frac{ac + ab + (bc-bc)}{abc} = \frac{ac+ab}{abc}$
Вынесем общий множитель $a$ в числителе и сократим дробь:
$\frac{a(c+b)}{abc} = \frac{b+c}{bc}$
Ответ: $\frac{b+c}{bc}$

8) Упростим выражение $\frac{2}{p^2} + \frac{p-1}{p}$. Общий знаменатель — $p^2$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $p$:
$\frac{2}{p^2} + \frac{p(p-1)}{p^2} = \frac{2 + p(p-1)}{p^2}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{2 + p^2 - p}{p^2} = \frac{p^2-p+2}{p^2}$
Ответ: $\frac{p^2-p+2}{p^2}$

9) Упростим выражение $\frac{k+4}{k} - \frac{3k-4}{k^2}$. Общий знаменатель — $k^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $k$:
$\frac{k(k+4)}{k^2} - \frac{3k-4}{k^2} = \frac{k(k+4) - (3k-4)}{k^2}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{k^2 + 4k - 3k + 4}{k^2} = \frac{k^2 + k + 4}{k^2}$
Ответ: $\frac{k^2+k+4}{k^2}$

10) Упростим выражение $\frac{x-y}{x^3} - \frac{y-x^2}{x^2y}$. Общий знаменатель — $x^3y$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $x$:
$\frac{y(x-y)}{x^3y} - \frac{x(y-x^2)}{x^3y} = \frac{y(x-y) - x(y-x^2)}{x^3y}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{xy - y^2 - xy + x^3}{x^3y} = \frac{(xy-xy) + x^3 - y^2}{x^3y} = \frac{x^3-y^2}{x^3y}$
Ответ: $\frac{x^3-y^2}{x^3y}$

11) Упростим выражение $\frac{2m-3n}{m^2n} + \frac{7m-2n}{mn^2}$. Общий знаменатель — $m^2n^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $n$, для второй — $m$:
$\frac{n(2m-3n)}{m^2n^2} + \frac{m(7m-2n)}{m^2n^2} = \frac{n(2m-3n) + m(7m-2n)}{m^2n^2}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{2mn - 3n^2 + 7m^2 - 2mn}{m^2n^2} = \frac{7m^2 - 3n^2 + (2mn-2mn)}{m^2n^2} = \frac{7m^2-3n^2}{m^2n^2}$
Ответ: $\frac{7m^2-3n^2}{m^2n^2}$

12) Упростим выражение $\frac{c+d}{cd^4} - \frac{c^2-8d}{c^3d^3}$. Общий знаменатель — $c^3d^4$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $c^2$, для второй — $d$:
$\frac{c^2(c+d)}{c^3d^4} - \frac{d(c^2-8d)}{c^3d^4} = \frac{c^2(c+d) - d(c^2-8d)}{c^3d^4}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{c^3 + c^2d - c^2d + 8d^2}{c^3d^4} = \frac{c^3 + (c^2d-c^2d) + 8d^2}{c^3d^4} = \frac{c^3+8d^2}{c^3d^4}$
Ответ: $\frac{c^3+8d^2}{c^3d^4}$

101. Выполните сложение или вычитание дробей:

1) $ \frac{9 - 5b}{b} - \frac{7 - 5c}{c} $;

2) $ \frac{4d + 7}{7d} - \frac{d - 6}{6d} $;

3) $ \frac{5 - k}{5p} - \frac{p + 10}{5k} $;

4) $ \frac{m - n}{mn} - \frac{p - n}{np} $;

5) $ \frac{6a + 2}{ab} - \frac{2a + 4}{a^2b} $;

6) $ \frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c - 9}{c^5} $;

7) $ \frac{1}{x^3} - \frac{1 + x^2}{x^5} $;

8) $ \frac{1 - ab}{abc} - \frac{1 - ad}{acd} $.

1) $\frac{9 - 5b}{b} - \frac{7 - 5c}{c}$

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $b$ и $c$ — это их произведение $bc$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $b$.

$\frac{9 - 5b}{b} - \frac{7 - 5c}{c} = \frac{c(9 - 5b)}{bc} - \frac{b(7 - 5c)}{bc} = \frac{9c - 5bc}{bc} - \frac{7b - 5bc}{bc}$

Теперь вычтем числители, а знаменатель оставим прежним:

$\frac{(9c - 5bc) - (7b - 5bc)}{bc} = \frac{9c - 5bc - 7b + 5bc}{bc} = \frac{9c - 7b}{bc}$

Ответ: $\frac{9c - 7b}{bc}$

2) $\frac{4d + 7}{7d} - \frac{d - 6}{6d}$

Найдем наименьший общий знаменатель для $7d$ и $6d$. Наименьшее общее кратное для чисел 7 и 6 равно 42. Значит, общий знаменатель будет $42d$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $6$, для второй — $7$.

$\frac{6(4d + 7)}{42d} - \frac{7(d - 6)}{42d} = \frac{24d + 42}{42d} - \frac{7d - 42}{42d}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(24d + 42) - (7d - 42)}{42d} = \frac{24d + 42 - 7d + 42}{42d} = \frac{(24d - 7d) + (42 + 42)}{42d} = \frac{17d + 84}{42d}$

Ответ: $\frac{17d + 84}{42d}$

3) $\frac{5 - k}{5p} - \frac{p + 10}{5k}$

Общий знаменатель для $5p$ и $5k$ равен $5pk$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $k$, для второй — $p$.

$\frac{k(5 - k)}{5pk} - \frac{p(p + 10)}{5pk} = \frac{5k - k^2}{5pk} - \frac{p^2 + 10p}{5pk}$

Вычтем числители:

$\frac{5k - k^2 - (p^2 + 10p)}{5pk} = \frac{5k - k^2 - p^2 - 10p}{5pk}$

Ответ: $\frac{5k - k^2 - p^2 - 10p}{5pk}$

4) $\frac{m - n}{mn} - \frac{p - n}{np}$

Общий знаменатель для $mn$ и $np$ равен $mnp$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $p$, для второй — $m$.

$\frac{p(m - n)}{mnp} - \frac{m(p - n)}{mnp} = \frac{mp - np}{mnp} - \frac{mp - mn}{mnp}$

Вычтем числители:

$\frac{(mp - np) - (mp - mn)}{mnp} = \frac{mp - np - mp + mn}{mnp} = \frac{mn - np}{mnp}$

Вынесем общий множитель $n$ в числителе за скобки и сократим дробь:

$\frac{n(m - p)}{mnp} = \frac{m - p}{mp}$

Ответ: $\frac{m - p}{mp}$

5) $\frac{6a + 2}{ab} - \frac{2a + 4}{a^2b}$

Общий знаменатель для $ab$ и $a^2b$ равен $a^2b$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, вторая дробь уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{a(6a + 2)}{a^2b} - \frac{2a + 4}{a^2b} = \frac{6a^2 + 2a}{a^2b} - \frac{2a + 4}{a^2b}$

Вычтем числители:

$\frac{(6a^2 + 2a) - (2a + 4)}{a^2b} = \frac{6a^2 + 2a - 2a - 4}{a^2b} = \frac{6a^2 - 4}{a^2b}$

Можно вынести общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(3a^2 - 2)}{a^2b}$

Ответ: $\frac{2(3a^2 - 2)}{a^2b}$

6) $\frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c - 9}{c^5}$

Общий знаменатель для $c^6$ и $c^5$ равен $c^6$.

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Дополнительный множитель для второй дроби — $c$.

$\frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c(c - 9)}{c^6} = \frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c^2 - 9c}{c^6}$

Вычтем числители:

$\frac{(c^2 - 16) - (c^2 - 9c)}{c^6} = \frac{c^2 - 16 - c^2 + 9c}{c^6} = \frac{9c - 16}{c^6}$

Ответ: $\frac{9c - 16}{c^6}$

7) $\frac{1}{x^3} - \frac{1 + x^2}{x^5}$

Общий знаменатель для $x^3$ и $x^5$ равен $x^5$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $x^2$.

$\frac{1 \cdot x^2}{x^3 \cdot x^2} - \frac{1 + x^2}{x^5} = \frac{x^2}{x^5} - \frac{1 + x^2}{x^5}$

Вычтем числители:

$\frac{x^2 - (1 + x^2)}{x^5} = \frac{x^2 - 1 - x^2}{x^5} = \frac{-1}{x^5} = -\frac{1}{x^5}$

Ответ: $-\frac{1}{x^5}$

8) $\frac{1 - ab}{abc} - \frac{1 - ad}{acd}$

Общий знаменатель для $abc$ и $acd$ равен $abcd$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $d$, для второй — $b$.

$\frac{d(1 - ab)}{abcd} - \frac{b(1 - ad)}{abcd} = \frac{d - abd}{abcd} - \frac{b - abd}{abcd}$

Вычтем числители:

$\frac{(d - abd) - (b - abd)}{abcd} = \frac{d - abd - b + abd}{abcd} = \frac{d - b}{abcd}$

Ответ: $\frac{d - b}{abcd}$