Страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

140. Выполните деление:

1) $\frac{5}{18} : \left(-\frac{25}{27}\right);$

2) $8 : \frac{4}{17};$

3) $-\frac{8}{15} : (-24);$

4) $1\frac{3}{5} : 5\frac{1}{3}.$

1) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Знак частного определяется по правилу деления рациональных чисел: при делении чисел с разными знаками результат будет отрицательным.

$\frac{5}{18} : (-\frac{25}{27}) = -(\frac{5}{18} \cdot \frac{27}{25})$

Перед умножением сократим дроби. Числитель первой дроби (5) и знаменатель второй (25) делятся на 5. Знаменатель первой дроби (18) и числитель второй (27) делятся на 9.

$-(\frac{5:5}{18:9} \cdot \frac{27:9}{25:5}) = -(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}) = -\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = -\frac{3}{10}$

Ответ: $-\frac{3}{10}$

2) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно представить это число в виде дроби (со знаменателем 1) и затем умножить на дробь, обратную делителю.

$8 : \frac{4}{17} = \frac{8}{1} : \frac{4}{17} = \frac{8}{1} \cdot \frac{17}{4}$

Сократим числитель 8 и знаменатель 4 на их общий делитель 4.

$\frac{8:4}{1} \cdot \frac{17}{4:4} = \frac{2}{1} \cdot \frac{17}{1} = 2 \cdot 17 = 34$

Ответ: $34$

3) При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным. Чтобы разделить дробь на целое число, нужно представить целое число в виде дроби и выполнить умножение на обратную дробь.

$-\frac{8}{15} : (-24) = \frac{8}{15} : 24 = \frac{8}{15} : \frac{24}{1} = \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{24}$

Сократим числитель 8 и знаменатель 24 на их общий делитель 8.

$\frac{8:8}{15} \cdot \frac{1}{24:8} = \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{15 \cdot 3} = \frac{1}{45}$

Ответ: $\frac{1}{45}$

4) Для выполнения деления смешанных чисел их необходимо сначала преобразовать в неправильные дроби.

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

Теперь выполним деление полученных неправильных дробей, заменив его умножением на обратную дробь.

$\frac{8}{5} : \frac{16}{3} = \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{16}$

Сократим числитель 8 и знаменатель 16 на их общий делитель 8.

$\frac{8:8}{5} \cdot \frac{3}{16:8} = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$

141. Найдите значение степени:

1) $(\frac{1}{3})^5$;

2) $(\frac{2}{5})^3$;

3) $(-2\frac{2}{3})^2$;

4) $(-3\frac{1}{3})^3$.

1) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Правило выглядит так: $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $.

$ (\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{243} $.

Ответ: $ \frac{1}{243} $.

2) Используем то же правило, что и в предыдущем пункте, возводя числитель и знаменатель в третью степень.

$ (\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{8}{125} $.

Ответ: $ \frac{8}{125} $.

3) Сначала нужно преобразовать смешанное число в неправильную дробь. Затем возвести в степень. Так как показатель степени — четное число (2), результат возведения отрицательного числа в эту степень будет положительным.

$ -2\frac{2}{3} = -(\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{8}{3} $.

$ (-2\frac{2}{3})^2 = (-\frac{8}{3})^2 = \frac{(-8)^2}{3^2} = \frac{64}{9} $.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $ \frac{64}{9} = 7\frac{1}{9} $.

Ответ: $ 7\frac{1}{9} $.

4) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Так как основание степени отрицательное, а показатель степени — нечетное число (3), результат будет отрицательным.

$ -3\frac{1}{3} = -(\frac{3 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{10}{3} $.

$ (-3\frac{1}{3})^3 = (-\frac{10}{3})^3 = \frac{(-10)^3}{3^3} = -\frac{1000}{27} $.

Представим ответ в виде смешанного числа: $ -\frac{1000}{27} = -37\frac{1}{27} $.

Ответ: $ -37\frac{1}{27} $.

142. Два парома одновременно отплывают от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянные, но разные. Паромы встречаются на расстоянии 720 м от одного из берегов, после чего продолжают движение. Достигнув берегов, паромы сразу начинают двигаться обратно и через некоторое время встречаются на расстоянии 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $W$ — ширина реки в метрах.
• $v_1$ и $v_2$ — постоянные скорости первого и второго паромов соответственно.
• $t_1$ — время движения до первой встречи.
• $t_2$ — общее время движения от старта до второй встречи.

Рассмотрим движение паромов до первой встречи. Паромы начинают движение одновременно с противоположных берегов. К моменту первой встречи они вместе преодолевают расстояние, равное ширине реки.

Суммарное расстояние, пройденное обоими паромами до первой встречи: $S_{общ1} = v_1 t_1 + v_2 t_1 = (v_1 + v_2)t_1 = W$.

По условию, первая встреча происходит на расстоянии 720 м от одного из берегов. Пусть первый паром прошел расстояние $d_1 = 720$ м. Тогда второй паром прошел $d_2 = W - 720$ м.

Теперь рассмотрим движение до второй встречи. После первой встречи каждый паром достигает противоположного берега, разворачивается и движется обратно. К моменту второй встречи первый паром полностью пересек реку один раз и прошел часть обратного пути. Второй паром также пересек реку один раз и прошел часть обратного пути. Суммарное расстояние, которое они прошли вместе от начала движения, равно трем ширинам реки.

Чтобы это увидеть, представим, что после первой встречи (суммарный путь $W$) они продолжают движение к берегам. К моменту, когда оба достигли противоположных берегов, их суммарный путь составит $2W$. Затем они разворачиваются и движутся навстречу друг другу. До момента их второй встречи они вместе пройдут еще одно расстояние $W$. Таким образом, общее расстояние, пройденное обоими паромами от старта до второй встречи, равно:

$S_{общ2} = v_1 t_2 + v_2 t_2 = (v_1 + v_2)t_2 = 3W$.

Сравнивая выражения для $S_{общ1}$ и $S_{общ2}$, мы видим, что $S_{общ2} = 3S_{общ1}$. Так как суммарная скорость $(v_1 + v_2)$ постоянна, то время до второй встречи в три раза больше времени до первой встречи:

$t_2 = 3t_1$.

Поскольку скорость каждого парома постоянна, расстояние, пройденное каждым паромом до второй встречи, также в три раза больше расстояния, пройденного им до первой встречи.

Рассмотрим путь первого парома, который до первой встречи прошел 720 м. Его путь до второй встречи будет:

$S_1 = 3 \times d_1 = 3 \times 720 \text{ м} = 2160 \text{ м}$.

Теперь определим этот же путь $S_1$ из условий задачи. Пусть первый паром стартовал от берега А. Первая встреча произошла в 720 м от берега А. Паром продолжил движение к берегу Б, до которого оставалось $W - 720$ м. Достигнув берега Б, он развернулся и поплыл обратно. Вторая встреча произошла на расстоянии 400 м от "другого берега", то есть от берега Б. Таким образом, путь первого парома от старта до второй встречи складывается из пути через всю реку (до берега Б) и обратного пути в 400 м.

$S_1 = W (\text{путь до берега Б}) + 400 \text{ м} (\text{обратный путь})$.

Теперь у нас есть два выражения для $S_1$. Приравняем их, чтобы найти ширину реки $W$:

$W + 400 = 2160$

$W = 2160 - 400$

$W = 1760 \text{ м}$

Ответ: Ширина реки составляет 1760 метров.