Номер 142, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 142, страница 32.

Условие.

142. Два парома одновременно отплывают от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянные, но разные. Паромы встречаются на расстоянии 720 м от одного из берегов, после чего продолжают движение. Достигнув берегов, паромы сразу начинают двигаться обратно и через некоторое время встречаются на расстоянии 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $W$ — ширина реки в метрах.
• $v_1$ и $v_2$ — постоянные скорости первого и второго паромов соответственно.
• $t_1$ — время движения до первой встречи.
• $t_2$ — общее время движения от старта до второй встречи.

Рассмотрим движение паромов до первой встречи. Паромы начинают движение одновременно с противоположных берегов. К моменту первой встречи они вместе преодолевают расстояние, равное ширине реки.

Суммарное расстояние, пройденное обоими паромами до первой встречи: $S_{общ1} = v_1 t_1 + v_2 t_1 = (v_1 + v_2)t_1 = W$.

По условию, первая встреча происходит на расстоянии 720 м от одного из берегов. Пусть первый паром прошел расстояние $d_1 = 720$ м. Тогда второй паром прошел $d_2 = W - 720$ м.

Теперь рассмотрим движение до второй встречи. После первой встречи каждый паром достигает противоположного берега, разворачивается и движется обратно. К моменту второй встречи первый паром полностью пересек реку один раз и прошел часть обратного пути. Второй паром также пересек реку один раз и прошел часть обратного пути. Суммарное расстояние, которое они прошли вместе от начала движения, равно трем ширинам реки.

Чтобы это увидеть, представим, что после первой встречи (суммарный путь $W$) они продолжают движение к берегам. К моменту, когда оба достигли противоположных берегов, их суммарный путь составит $2W$. Затем они разворачиваются и движутся навстречу друг другу. До момента их второй встречи они вместе пройдут еще одно расстояние $W$. Таким образом, общее расстояние, пройденное обоими паромами от старта до второй встречи, равно:

$S_{общ2} = v_1 t_2 + v_2 t_2 = (v_1 + v_2)t_2 = 3W$.

Сравнивая выражения для $S_{общ1}$ и $S_{общ2}$, мы видим, что $S_{общ2} = 3S_{общ1}$. Так как суммарная скорость $(v_1 + v_2)$ постоянна, то время до второй встречи в три раза больше времени до первой встречи:

$t_2 = 3t_1$.

Поскольку скорость каждого парома постоянна, расстояние, пройденное каждым паромом до второй встречи, также в три раза больше расстояния, пройденного им до первой встречи.

Рассмотрим путь первого парома, который до первой встречи прошел 720 м. Его путь до второй встречи будет:

$S_1 = 3 \times d_1 = 3 \times 720 \text{ м} = 2160 \text{ м}$.

Теперь определим этот же путь $S_1$ из условий задачи. Пусть первый паром стартовал от берега А. Первая встреча произошла в 720 м от берега А. Паром продолжил движение к берегу Б, до которого оставалось $W - 720$ м. Достигнув берега Б, он развернулся и поплыл обратно. Вторая встреча произошла на расстоянии 400 м от "другого берега", то есть от берега Б. Таким образом, путь первого парома от старта до второй встречи складывается из пути через всю реку (до берега Б) и обратного пути в 400 м.

$S_1 = W (\text{путь до берега Б}) + 400 \text{ м} (\text{обратный путь})$.

Теперь у нас есть два выражения для $S_1$. Приравняем их, чтобы найти ширину реки $W$:

$W + 400 = 2160$

$W = 2160 - 400$

$W = 1760 \text{ м}$

Ответ: Ширина реки составляет 1760 метров.