Номер 137, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 137, страница 31.

Условие.

137. Верно ли утверждение, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(5n + 7)^2 - (n - 1)^2$ делится нацело на 48?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы проверить, верно ли утверждение, необходимо упростить данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 5n + 7$ и $b = n - 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(5n + 7)^2 - (n - 1)^2 = ((5n + 7) - (n - 1))((5n + 7) + (n - 1))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $(5n + 7) - (n - 1) = 5n + 7 - n + 1 = 4n + 8 = 4(n + 2)$

Вторая скобка: $(5n + 7) + (n - 1) = 5n + 7 + n - 1 = 6n + 6 = 6(n + 1)$

Перемножим полученные результаты:

$4(n + 2) \cdot 6(n + 1) = 24(n + 1)(n + 2)$

Теперь нам нужно доказать, что выражение $24(n + 1)(n + 2)$ делится нацело на 48 при любом натуральном $n$.

Для того чтобы $24(n + 1)(n + 2)$ делилось на 48, необходимо, чтобы выражение $\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$ было целым числом.

Рассмотрим произведение $(n + 1)(n + 2)$. Это произведение двух последовательных натуральных чисел. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n+1$ и $n+2$ — это два идущих подряд целых числа.

Среди двух последовательных целых чисел одно всегда является четным.

• Если $n$ — нечетное число, то $n+1$ будет четным.
• Если $n$ — четное число, то $n+2$ будет четным.

В любом случае, произведение $(n + 1)(n + 2)$ содержит четный множитель, а значит, само произведение всегда делится на 2.

Так как $(n + 1)(n + 2)$ всегда делится на 2, то выражение $24(n + 1)(n + 2)$ всегда будет делиться на $24 \cdot 2 = 48$.

Следовательно, исходное утверждение верно.

Ответ: Да, утверждение верно.