Номер 131, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 131, страница 31.

Условие.

131. Докажите тождество:

$\frac{3}{1-a^2} + \frac{3}{1+a^2} + \frac{6}{1+a^4} + \frac{12}{1+a^8} + \frac{24}{1+a^{16}} = \frac{48}{1-a^{32}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, последовательно складывая дроби слева направо. При каждом сложении будем использовать формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

1. Сложим первые два слагаемых:

$ \frac{3}{1-a^2} + \frac{3}{1+a^2} = \frac{3(1+a^2) + 3(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{3+3a^2+3-3a^2}{1-(a^2)^2} = \frac{6}{1-a^4} $

2. К полученному результату прибавим третье слагаемое изначального выражения:

$ \frac{6}{1-a^4} + \frac{6}{1+a^4} = \frac{6(1+a^4) + 6(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{6+6a^4+6-6a^4}{1-(a^4)^2} = \frac{12}{1-a^8} $

3. Теперь к результату предыдущего шага прибавим четвертое слагаемое:

$ \frac{12}{1-a^8} + \frac{12}{1+a^8} = \frac{12(1+a^8) + 12(1-a^8)}{(1-a^8)(1+a^8)} = \frac{12+12a^8+12-12a^8}{1-(a^8)^2} = \frac{24}{1-a^{16}} $

4. Наконец, прибавим последнее, пятое слагаемое:

$ \frac{24}{1-a^{16}} + \frac{24}{1+a^{16}} = \frac{24(1+a^{16}) + 24(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})} = \frac{24+24a^{16}+24-24a^{16}}{1-(a^{16})^2} = \frac{48}{1-a^{32}} $

В результате последовательных преобразований левая часть выражения оказалась равна его правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.