Номер 127, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 127, страница 30.

Условие.

127. Докажите тождество:

$\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, приведя все дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} $

Для удобства приведения к общему знаменателю преобразуем знаменатели второй и третьей дробей. Заметим, что $(b-a) = -(a-b)$, $(c-a) = -(a-c)$ и $(c-b) = -(b-c)$.
Второй член: $ \frac{ac}{(b-a)(b-c)} = \frac{ac}{-(a-b)(b-c)} = -\frac{ac}{(a-b)(b-c)} $
Третий член: $ \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = \frac{ab}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{ab}{(a-c)(b-c)} $

После преобразования левая часть тождества принимает вид:$ \frac{bc}{(a-b)(a-c)} - \frac{ac}{(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(a-c)(b-c)} $

Общим знаменателем является выражение $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем дроби к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:$ \frac{bc(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{ab(a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)} $

Запишем всё в виде одной дроби:$ \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} $

Раскроем скобки в числителе:$ bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b) = b^2c - bc^2 - (a^2c - ac^2) + a^2b - ab^2 = b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2 $

Для разложения числителя на множители сгруппируем слагаемые по степеням переменной $a$:$ (a^2b - a^2c) - (ab^2 - ac^2) + (b^2c - bc^2) = a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) $

Применим формулу разности квадратов $b^2-c^2 = (b-c)(b+c)$ и вынесем общий множитель $(b-c)$:$ a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c) = (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) $

Раскроем скобки внутри второго множителя и выполним группировку:$ (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) = (b-c)(a(a-b) - c(a-b)) $

Вынесем общий множитель $(a-b)$:$ (b-c)(a-b)(a-c) $

Таким образом, числитель равен $(a-b)(b-c)(a-c)$.

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:$ \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} $

При условии, что $a \neq b$, $b \neq c$ и $a \neq c$ (что необходимо для существования исходного выражения), мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:$ \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1 $

Мы показали, что левая часть тождества равна 1, что соответствует правой части.

Ответ: Тождество доказано.