Номер 120, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 120, страница 30.

Условие.

120. Докажите тождество:

1) $\frac{1}{6a - 4b} - \frac{1}{6a + 4b} - \frac{3a}{4b^2 - 9a^2} = \frac{1}{3a - 2b};$

2) $\frac{c + 2}{c^2 + 3c} - \frac{1}{3c + 9} - \frac{2}{3c} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество $\frac{1}{6a-4b} - \frac{1}{6a+4b} - \frac{3a}{4b^2-9a^2} = \frac{1}{3a-2b}$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Сначала разложим знаменатели дробей на множители:

$6a - 4b = 2(3a - 2b)$

$6a + 4b = 2(3a + 2b)$

$4b^2 - 9a^2 = (2b)^2 - (3a)^2 = (2b - 3a)(2b + 3a) = -(3a - 2b)(3a + 2b)$

Теперь подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:

$\frac{1}{2(3a-2b)} - \frac{1}{2(3a+4b)} - \frac{3a}{-(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{1}{2(3a-2b)} - \frac{1}{2(3a+2b)} + \frac{3a}{(3a-2b)(3a+2b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(3a-2b)(3a+2b)$:

$\frac{1 \cdot (3a+2b)}{2(3a-2b)(3a+2b)} - \frac{1 \cdot (3a-2b)}{2(3a-2b)(3a+2b)} + \frac{3a \cdot 2}{2(3a-2b)(3a+2b)}$

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$\frac{(3a+2b) - (3a-2b) + 6a}{2(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{3a+2b-3a+2b+6a}{2(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{6a+4b}{2(3a-2b)(3a+2b)}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$\frac{2(3a+2b)}{2(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{1}{3a-2b}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{c+2}{c^2+3c} - \frac{1}{3c+9} - \frac{2}{3c} = 0$.

Преобразуем левую часть выражения. Разложим знаменатели на множители:

$c^2 + 3c = c(c+3)$

$3c + 9 = 3(c+3)$

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$\frac{c+2}{c(c+3)} - \frac{1}{3(c+3)} - \frac{2}{3c}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $3c(c+3)$:

$\frac{3(c+2)}{3c(c+3)} - \frac{1 \cdot c}{3c(c+3)} - \frac{2(c+3)}{3c(c+3)}$

Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:

$\frac{3(c+2) - c - 2(c+3)}{3c(c+3)} = \frac{3c+6-c-2c-6}{3c(c+3)} = \frac{(3c-c-2c)+(6-6)}{3c(c+3)} = \frac{0}{3c(c+3)}$

При допустимых значениях переменных ($c \ne 0$ и $c \ne -3$) значение выражения равно нулю.

$\frac{0}{3c(c+3)} = 0$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.