Номер 122, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 122, страница 30.

Условие.

122. Упростите выражение:

1) $ \frac{9m^2 - 3mn + n^2}{3m - n} - \frac{9m^2 + 3mn + n^2}{3m + n} $

2) $ 1 - \frac{2b - 1}{4b^2 - 2b + 1} - \frac{2b}{2b + 1} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{9m^2 - 3mn + n^2}{3m - n} - \frac{9m^2 + 3mn + n^2}{3m + n}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(3m - n)(3m + n)$. По формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ имеем:

$(3m - n)(3m + n) = (3m)^2 - n^2 = 9m^2 - n^2$.

Теперь приведем каждую дробь к новому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на соответствующий множитель:

$\frac{(9m^2 - 3mn + n^2)(3m + n)}{(3m - n)(3m + n)} - \frac{(9m^2 + 3mn + n^2)(3m - n)}{(3m + n)(3m - n)}$

Заметим, что выражения в числителях соответствуют формулам суммы и разности кубов:
$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

В первом числителе, пусть $a = 3m$ и $b = n$. Тогда $a^2-ab+b^2 = (3m)^2 - (3m)n + n^2 = 9m^2-3mn+n^2$. Следовательно, числитель первой дроби является произведением неполного квадрата разности на сумму, что равно сумме кубов:
$(3m+n)(9m^2 - 3mn + n^2) = (3m)^3 + n^3 = 27m^3 + n^3$.

Во втором числителе, пусть $a = 3m$ и $b = n$. Тогда $a^2+ab+b^2 = (3m)^2 + (3m)n + n^2 = 9m^2+3mn+n^2$. Следовательно, числитель второй дроби является произведением неполного квадрата суммы на разность, что равно разности кубов:
$(3m-n)(9m^2 + 3mn + n^2) = (3m)^3 - n^3 = 27m^3 - n^3$.

Подставим полученные выражения в нашу дробь:

$\frac{27m^3 + n^3}{9m^2 - n^2} - \frac{27m^3 - n^3}{9m^2 - n^2} = \frac{(27m^3 + n^3) - (27m^3 - n^3)}{9m^2 - n^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{27m^3 + n^3 - 27m^3 + n^3}{9m^2 - n^2} = \frac{2n^3}{9m^2 - n^2}$

Ответ: $\frac{2n^3}{9m^2 - n^2}$.

2) $1 - \frac{2b - 1}{4b^2 - 2b + 1} - \frac{2b}{2b + 1}$

Для упрощения выражения выполним действия по порядку. Удобнее сначала выполнить вычитание из единицы последней дроби:

$1 - \frac{2b}{2b + 1} = \frac{2b + 1}{2b + 1} - \frac{2b}{2b + 1} = \frac{2b + 1 - 2b}{2b + 1} = \frac{1}{2b + 1}$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$\frac{1}{2b + 1} - \frac{2b - 1}{4b^2 - 2b + 1}$

Приведем эти дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $4b^2 - 2b + 1$ является неполным квадратом разности выражений $2b$ и $1$. Общий знаменатель будет произведением знаменателей:

$(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=2b$ и $b=1$:

$(2b + 1)((2b)^2 - 2b \cdot 1 + 1^2) = (2b)^3 + 1^3 = 8b^3 + 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $8b^3 + 1$:

$\frac{1 \cdot (4b^2 - 2b + 1)}{(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1)} - \frac{(2b - 1)(2b + 1)}{(4b^2 - 2b + 1)(2b + 1)}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{4b^2 - 2b + 1 - (2b - 1)(2b + 1)}{8b^3 + 1}$

В числителе применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для выражения $(2b-1)(2b+1)$:

$(2b - 1)(2b + 1) = (2b)^2 - 1^2 = 4b^2 - 1$.

Подставим это в числитель и упростим:

$\frac{4b^2 - 2b + 1 - (4b^2 - 1)}{8b^3 + 1} = \frac{4b^2 - 2b + 1 - 4b^2 + 1}{8b^3 + 1} = \frac{-2b + 2}{8b^3 + 1} = \frac{2 - 2b}{8b^3 + 1}$

Ответ: $\frac{2 - 2b}{8b^3 + 1}$.