Номер 122, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 122, страница 30.
№122 (с. 30)
Условие. №122 (с. 30)
скриншот условия

122. Упростите выражение:
1) $ \frac{9m^2 - 3mn + n^2}{3m - n} - \frac{9m^2 + 3mn + n^2}{3m + n} $
2) $ 1 - \frac{2b - 1}{4b^2 - 2b + 1} - \frac{2b}{2b + 1} $
Решение 1. №122 (с. 30)


Решение 2. №122 (с. 30)

Решение 3. №122 (с. 30)

Решение 4. №122 (с. 30)

Решение 5. №122 (с. 30)

Решение 6. №122 (с. 30)

Решение 7. №122 (с. 30)

Решение 8. №122 (с. 30)
1) $\frac{9m^2 - 3mn + n^2}{3m - n} - \frac{9m^2 + 3mn + n^2}{3m + n}$
Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(3m - n)(3m + n)$. По формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ имеем:
$(3m - n)(3m + n) = (3m)^2 - n^2 = 9m^2 - n^2$.
Теперь приведем каждую дробь к новому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на соответствующий множитель:
$\frac{(9m^2 - 3mn + n^2)(3m + n)}{(3m - n)(3m + n)} - \frac{(9m^2 + 3mn + n^2)(3m - n)}{(3m + n)(3m - n)}$
Заметим, что выражения в числителях соответствуют формулам суммы и разности кубов:
$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
В первом числителе, пусть $a = 3m$ и $b = n$. Тогда $a^2-ab+b^2 = (3m)^2 - (3m)n + n^2 = 9m^2-3mn+n^2$. Следовательно, числитель первой дроби является произведением неполного квадрата разности на сумму, что равно сумме кубов:
$(3m+n)(9m^2 - 3mn + n^2) = (3m)^3 + n^3 = 27m^3 + n^3$.
Во втором числителе, пусть $a = 3m$ и $b = n$. Тогда $a^2+ab+b^2 = (3m)^2 + (3m)n + n^2 = 9m^2+3mn+n^2$. Следовательно, числитель второй дроби является произведением неполного квадрата суммы на разность, что равно разности кубов:
$(3m-n)(9m^2 + 3mn + n^2) = (3m)^3 - n^3 = 27m^3 - n^3$.
Подставим полученные выражения в нашу дробь:
$\frac{27m^3 + n^3}{9m^2 - n^2} - \frac{27m^3 - n^3}{9m^2 - n^2} = \frac{(27m^3 + n^3) - (27m^3 - n^3)}{9m^2 - n^2}$
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{27m^3 + n^3 - 27m^3 + n^3}{9m^2 - n^2} = \frac{2n^3}{9m^2 - n^2}$
Ответ: $\frac{2n^3}{9m^2 - n^2}$.
2) $1 - \frac{2b - 1}{4b^2 - 2b + 1} - \frac{2b}{2b + 1}$
Для упрощения выражения выполним действия по порядку. Удобнее сначала выполнить вычитание из единицы последней дроби:
$1 - \frac{2b}{2b + 1} = \frac{2b + 1}{2b + 1} - \frac{2b}{2b + 1} = \frac{2b + 1 - 2b}{2b + 1} = \frac{1}{2b + 1}$
Теперь исходное выражение можно переписать в виде:
$\frac{1}{2b + 1} - \frac{2b - 1}{4b^2 - 2b + 1}$
Приведем эти дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $4b^2 - 2b + 1$ является неполным квадратом разности выражений $2b$ и $1$. Общий знаменатель будет произведением знаменателей:
$(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1)$
Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=2b$ и $b=1$:
$(2b + 1)((2b)^2 - 2b \cdot 1 + 1^2) = (2b)^3 + 1^3 = 8b^3 + 1$.
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $8b^3 + 1$:
$\frac{1 \cdot (4b^2 - 2b + 1)}{(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1)} - \frac{(2b - 1)(2b + 1)}{(4b^2 - 2b + 1)(2b + 1)}$
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{4b^2 - 2b + 1 - (2b - 1)(2b + 1)}{8b^3 + 1}$
В числителе применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для выражения $(2b-1)(2b+1)$:
$(2b - 1)(2b + 1) = (2b)^2 - 1^2 = 4b^2 - 1$.
Подставим это в числитель и упростим:
$\frac{4b^2 - 2b + 1 - (4b^2 - 1)}{8b^3 + 1} = \frac{4b^2 - 2b + 1 - 4b^2 + 1}{8b^3 + 1} = \frac{-2b + 2}{8b^3 + 1} = \frac{2 - 2b}{8b^3 + 1}$
Ответ: $\frac{2 - 2b}{8b^3 + 1}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 122 расположенного на странице 30 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №122 (с. 30), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.