Номер 116, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 116, страница 29.

Условие.

116. Упростите выражение:

1) $b+7-\frac{14b}{b+7}$;

2) $5c-\frac{10-29c+10c^2}{2c-5}+2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $b + 7 - \frac{14b}{b+7}$, приведем его к общему знаменателю. Общий знаменатель - это $b+7$.

Представим выражение $(b+7)$ в виде дроби со знаменателем $(b+7)$:

$b+7 = \frac{(b+7)(b+7)}{b+7} = \frac{(b+7)^2}{b+7}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$b + 7 - \frac{14b}{b+7} = \frac{(b+7)^2}{b+7} - \frac{14b}{b+7} = \frac{(b+7)^2 - 14b}{b+7}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(b+7)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 7 + 7^2 = b^2 + 14b + 49$

Подставим полученное выражение обратно в числитель дроби и упростим:

$\frac{b^2 + 14b + 49 - 14b}{b+7} = \frac{b^2 + 49}{b+7}$

Данное выражение является окончательным, так как числитель $b^2+49$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами и не имеет общих множителей со знаменателем. Выражение определено при $b+7 \neq 0$, то есть $b \neq -7$.

Ответ: $\frac{b^2 + 49}{b+7}$

2) Чтобы упростить выражение $5c - \frac{10 - 29c + 10c^2}{2c-5} + 2$, сначала сгруппируем слагаемые, не содержащие дробь, а затем приведем все к общему знаменателю.

$(5c + 2) - \frac{10 - 29c + 10c^2}{2c-5}$

Общий знаменатель - это $2c-5$. Приведем выражение $(5c+2)$ к этому знаменателю:

$5c+2 = \frac{(5c+2)(2c-5)}{2c-5}$

Теперь объединим все под общим знаменателем:

$\frac{(5c+2)(2c-5) - (10 - 29c + 10c^2)}{2c-5}$

Раскроем скобки в числителе. Сначала перемножим $(5c+2)(2c-5)$:

$(5c+2)(2c-5) = 5c \cdot 2c - 5c \cdot 5 + 2 \cdot 2c - 2 \cdot 5 = 10c^2 - 25c + 4c - 10 = 10c^2 - 21c - 10$

Теперь подставим это в числитель и раскроем вторые скобки (обращая внимание на знак "минус" перед дробью):

$\frac{10c^2 - 21c - 10 - (10 - 29c + 10c^2)}{2c-5} = \frac{10c^2 - 21c - 10 - 10 + 29c - 10c^2}{2c-5}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(10c^2 - 10c^2) + (-21c + 29c) + (-10 - 10) = 0 + 8c - 20 = 8c - 20$

Получаем дробь:

$\frac{8c - 20}{2c-5}$

Вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе:

$\frac{4(2c - 5)}{2c-5}$

Сократим дробь на общий множитель $(2c-5)$, при условии что $2c-5 \neq 0$, то есть $c \neq 2.5$:

$\frac{4\cancel{(2c - 5)}}{\cancel{2c-5}} = 4$

Ответ: 4