Номер 119, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 119, страница 29.
№119 (с. 29)
Условие. №119 (с. 29)
скриншот условия

119. Докажите тождество:
1) $\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} + \frac{b^2}{a^2-ab} = 0;$
2) $\frac{a+3}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{6}{a^2-1} = \frac{2}{a^2-1};$
3) $\frac{2a^2+4}{a^2-1} - \frac{a-2}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} = \frac{1}{a-1}.$
Решение 1. №119 (с. 29)



Решение 2. №119 (с. 29)

Решение 3. №119 (с. 29)

Решение 4. №119 (с. 29)

Решение 5. №119 (с. 29)

Решение 6. №119 (с. 29)


Решение 7. №119 (с. 29)

Решение 8. №119 (с. 29)
1) Докажем тождество $\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} + \frac{b^2}{a^2 - ab} = 0$.
Преобразуем левую часть равенства. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $a$, $a-b$ и $a^2 - ab$. Разложим третий знаменатель на множители: $a^2 - ab = a(a-b)$.
Общий знаменатель для всех дробей — это $a(a-b)$. Тождество имеет смысл при $a \neq 0$ и $a \neq b$.
Приведем каждую дробь к общему знаменателю:
$\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} + \frac{b^2}{a(a-b)} = \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)} - \frac{a \cdot a}{a(a-b)} + \frac{b^2}{a(a-b)}$
Теперь выполним операции с числителями:
$\frac{(a+b)(a-b) - a^2 + b^2}{a(a-b)}$
Раскроем скобки в числителе. Выражение $(a+b)(a-b)$ является формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$\frac{(a^2 - b^2) - a^2 + b^2}{a(a-b)} = \frac{a^2 - b^2 - a^2 + b^2}{a(a-b)} = \frac{0}{a(a-b)} = 0$
Левая часть тождества равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
2) Докажем тождество $\frac{a+3}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{6}{a^2 - 1} = \frac{2}{a^2 - 1}$.
Преобразуем левую часть равенства. Знаменатели дробей: $a+1$, $a-1$ и $a^2 - 1$. Разложим третий знаменатель по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$.
Общий знаменатель для дробей в левой части — это $(a-1)(a+1)$ или $a^2 - 1$. Тождество имеет смысл при $a \neq 1$ и $a \neq -1$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{(a+3)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{6}{(a-1)(a+1)}$
Объединим дроби:
$\frac{(a+3)(a-1) - (a+1)^2 + 6}{(a-1)(a+1)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$(a+3)(a-1) = a^2 - a + 3a - 3 = a^2 + 2a - 3$
$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$
Подставим раскрытые выражения в числитель:
$\frac{(a^2 + 2a - 3) - (a^2 + 2a + 1) + 6}{a^2 - 1} = \frac{a^2 + 2a - 3 - a^2 - 2a - 1 + 6}{a^2 - 1}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(a^2 - a^2) + (2a - 2a) + (-3 - 1 + 6)}{a^2 - 1} = \frac{0 + 0 + 2}{a^2 - 1} = \frac{2}{a^2 - 1}$
Полученное выражение в левой части равно выражению в правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
3) Докажем тождество $\frac{2a^2+4}{a^2-1} - \frac{a-2}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} = \frac{1}{a-1}$.
Преобразуем левую часть равенства. Общий знаменатель для дробей, как и в предыдущем примере, — это $a^2-1 = (a-1)(a+1)$. Тождество имеет смысл при $a \neq 1$ и $a \neq -1$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{2a^2+4}{(a-1)(a+1)} - \frac{(a-2)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)}$
Объединим дроби под общим знаменателем:
$\frac{(2a^2+4) - (a-2)(a-1) - (a+1)^2}{(a-1)(a+1)}$
Раскроем скобки в числителе:
$(a-2)(a-1) = a^2 - a - 2a + 2 = a^2 - 3a + 2$
$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$
Подставим раскрытые выражения в числитель:
$\frac{(2a^2+4) - (a^2 - 3a + 2) - (a^2 + 2a + 1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{2a^2+4 - a^2 + 3a - 2 - a^2 - 2a - 1}{(a-1)(a+1)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(2a^2 - a^2 - a^2) + (3a - 2a) + (4 - 2 - 1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{0 + a + 1}{(a-1)(a+1)} = \frac{a+1}{(a-1)(a+1)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$ (это возможно, т.к. $a \neq -1$):
$\frac{1}{a-1}$
Левая часть тождества после преобразований стала равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 119 расположенного на странице 29 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №119 (с. 29), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.