Номер 119, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 119, страница 29.

Условие.

119. Докажите тождество:

1) $\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} + \frac{b^2}{a^2-ab} = 0;$

2) $\frac{a+3}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{6}{a^2-1} = \frac{2}{a^2-1};$

3) $\frac{2a^2+4}{a^2-1} - \frac{a-2}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} = \frac{1}{a-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество $\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} + \frac{b^2}{a^2 - ab} = 0$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $a$, $a-b$ и $a^2 - ab$. Разложим третий знаменатель на множители: $a^2 - ab = a(a-b)$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $a(a-b)$. Тождество имеет смысл при $a \neq 0$ и $a \neq b$.

Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

$\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} + \frac{b^2}{a(a-b)} = \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)} - \frac{a \cdot a}{a(a-b)} + \frac{b^2}{a(a-b)}$

Теперь выполним операции с числителями:

$\frac{(a+b)(a-b) - a^2 + b^2}{a(a-b)}$

Раскроем скобки в числителе. Выражение $(a+b)(a-b)$ является формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\frac{(a^2 - b^2) - a^2 + b^2}{a(a-b)} = \frac{a^2 - b^2 - a^2 + b^2}{a(a-b)} = \frac{0}{a(a-b)} = 0$

Левая часть тождества равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{a+3}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{6}{a^2 - 1} = \frac{2}{a^2 - 1}$.

Преобразуем левую часть равенства. Знаменатели дробей: $a+1$, $a-1$ и $a^2 - 1$. Разложим третий знаменатель по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$.

Общий знаменатель для дробей в левой части — это $(a-1)(a+1)$ или $a^2 - 1$. Тождество имеет смысл при $a \neq 1$ и $a \neq -1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{(a+3)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{6}{(a-1)(a+1)}$

Объединим дроби:

$\frac{(a+3)(a-1) - (a+1)^2 + 6}{(a-1)(a+1)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(a+3)(a-1) = a^2 - a + 3a - 3 = a^2 + 2a - 3$

$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$\frac{(a^2 + 2a - 3) - (a^2 + 2a + 1) + 6}{a^2 - 1} = \frac{a^2 + 2a - 3 - a^2 - 2a - 1 + 6}{a^2 - 1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^2 - a^2) + (2a - 2a) + (-3 - 1 + 6)}{a^2 - 1} = \frac{0 + 0 + 2}{a^2 - 1} = \frac{2}{a^2 - 1}$

Полученное выражение в левой части равно выражению в правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{2a^2+4}{a^2-1} - \frac{a-2}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} = \frac{1}{a-1}$.

Преобразуем левую часть равенства. Общий знаменатель для дробей, как и в предыдущем примере, — это $a^2-1 = (a-1)(a+1)$. Тождество имеет смысл при $a \neq 1$ и $a \neq -1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{2a^2+4}{(a-1)(a+1)} - \frac{(a-2)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)}$

Объединим дроби под общим знаменателем:

$\frac{(2a^2+4) - (a-2)(a-1) - (a+1)^2}{(a-1)(a+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a-2)(a-1) = a^2 - a - 2a + 2 = a^2 - 3a + 2$

$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$\frac{(2a^2+4) - (a^2 - 3a + 2) - (a^2 + 2a + 1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{2a^2+4 - a^2 + 3a - 2 - a^2 - 2a - 1}{(a-1)(a+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2a^2 - a^2 - a^2) + (3a - 2a) + (4 - 2 - 1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{0 + a + 1}{(a-1)(a+1)} = \frac{a+1}{(a-1)(a+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$ (это возможно, т.к. $a \neq -1$):

$\frac{1}{a-1}$

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.