Номер 126, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 126, страница 30.

Условие.

126. Докажите тождество:

$\frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} = 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть равенства, приведя все дроби к общему знаменателю, и покажем, что она равна нулю.

Исходное выражение в левой части:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} $$

Для упрощения дальнейших вычислений, приведем множители в знаменателях к единому виду. Обратим внимание на знаменатель третьей дроби. Мы можем переписать его, используя тождества $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$:

$$ (c-a)(c-b) = \left(-(a-c)\right) \cdot \left(-(b-c)\right) = (a-c)(b-c) $$

Теперь подставим это преобразование в исходное выражение:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)} $$

Общим знаменателем для этих трех дробей является произведение $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(b-c)$, второй — на $(a-c)$, и третьей — на $(a-b)$:

$$ \frac{1 \cdot (b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{1 \cdot (a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)} $$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем выполнить сложение и вычитание их числителей:

$$ \frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} $$

Раскроем скобки в числителе и упростим полученное выражение:

$$ b - c - a + c + a - b = (a - a) + (b - b) + (c - c) = 0 + 0 + 0 = 0 $$

Поскольку числитель равен нулю, а знаменатель по определению не равен нулю (иначе исходное выражение не имело бы смысла), вся дробь равна нулю:

$$ \frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 0 $$

Таким образом, мы доказали, что левая часть тождества равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано. После приведения левой части к общему знаменателю и упрощения получается $ \frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{b - c - a + c + a - b}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 0 $.